대입 (수학)

수학에서 대입(代入, 영어: substitution)은 문자를 포함한 식에서 문자 대신 수로 바꾸어 넣는 것 또는 식의 변수에 상숫값이나 다른 식을 넣어 푸는 일이다. 예를 들어, 함수 공식 $f(x)=x^{2}$에 $x=3$을 대입시킨 결과는 $f(3)=9$이다.

정의

논리학의 대입 공리(代入公理)는 다음과 같다.

• 임의의 $n$항 술어 $P$ 및 임의의 항 $t_{1},\dots ,t_{n},u_{1},\dots ,u_{n}$에 대하여, 만약 $t_{1}=u_{1}$부터 $t_{n}=u_{n}$까지가 성립한다면, $P(t_{1},\dots ,t_{n})$과 $P(u_{1},\dots ,u_{n})$은 서로 동치이다.

특히, 임의의 $n$항 연산은 특별한 $n+1$항 술어라고 여길 수 있으므로, 다음이 성립한다.

• 임의의 $n$항 연산 $f$ 및 임의의 항 $t_{1},\dots ,t_{n},u_{1},\dots ,u_{n}$에 대하여, 만약 $t_{1}=u_{1}$부터 $t_{n}=u_{n}$까지가 성립한다면, $f(t_{1},\dots ,t_{n})=f(u_{1},\dots ,t_{n})$이다.

이러한 공리에 기반하여, 이미 알고 있는 몇 가지 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정을 대입이라고 한다.

예

예를 들어, $a=1$을 함수 $2(-)$에 대입시키면, $2a=2$임을 알 수 있다.

또한, $a=b$이며 $c=d$임을 알 때, 첫째 등식을 함수 $(-)+c$에 대입시키면 $a+c=b+c$임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수 $b+(-)$에 대입시키면 $b+c=b+d$임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜 $a+c=b+d$를 얻을 수 있다.

참고 문헌

• Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817.