내분과 외분

주어진 내/외분비의 내분점과 외분점의 작도법

기하학에서 내분(內分)은 선분을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 내분점(內分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 내분비(內分比)라고 한다. 이와 비슷하게, 외분(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 외분점(外分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 외분비(外分比)라고 한다.

정의

내/외분비의 정의와 예시

세 공선점 $A,B,C$ ($A\neq B$)의 내/외분비(영어: division ratio) $(A,B;C)$는 다음을 만족시키는 유일한 수이다.

${\overrightarrow {AC}}=(A,B;C){\overrightarrow {CB}}$

즉, 이는 다음과 같다.

$(A,B;C)={\begin{cases}|AC|/|CB|&B\neq C\in {\overline {AB}}\\-|AC|/|CB|&B\neq C\not \in {\overline {AB}}\\{\widehat {\infty }}&C=B\end{cases}}\in (\mathbb {R} \setminus \{-1\})\sqcup \{{\widehat {\infty }}\}$

성질

|AB| = 1일 때, t = |AC|와 λ = (A, B; C)의 관계 λ = t / (1 - t)의 그래프

T를 ⟶OA와 ⟶OB의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수(다시 말해, 좌표계 (O; ⟶OA, ⟶OB) 아래 T의 좌표)는 AB에 대한 T의 내분비를 통해 표시할 수 있다.

• 세 점의 위치 관계에 따른 내/외분비의 범위는 다음과 같다.

위치 관계	내/외분비의 범위
$C$가 ${\overline {AB}}$ 밖의, $A$와 가까운 쪽에 있음	$-1<(A,B;C)<0$
$C=A$	$(A,B;C)=0$
$C$가 $A$와 $B$ 사이에 있음	$(A,B;C)>0$
$C$는 ${\overline {AB}}$의 중점	$(A,B;C)=1$
$C=B$	$(A,B;C)={\widehat {\infty }}$
$C$가 ${\overline {AB}}$ 밖의, $B$와 가까운 쪽에 있음	$(A,B;C)<-1$

• 또 다른 점 $O$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

  ${\overrightarrow {OC}}={\frac {1}{1+(A,B;C)}}{\overrightarrow {OA}}+{\frac {(A,B;C)}{1+(A,B;C)}}{\overrightarrow {OB}}$

• 내/외분비는 아핀 변환 아래 불변이다. 즉, 아핀 공간의 공선점 $A,B,C$ ($A\neq B$)와 아핀 변환 $\phi$에 대하여, 다음이 성립한다.
  • $\phi (A),\phi (B),\phi (C)$는 공선점이다.
  • 만약 $\phi (A)\neq \phi (B)$라면, $(\phi (A),\phi (B);\phi (C))=(A,B;C)$

예

• 삼각형의 무게중심은 세 중선의 내분점이며, 세 중선에 대한 무게중심의 내분비는 모두 2이다.
• 좌표 공간 위의 두 점 $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})$를 $m:n$의 비율로 내분하는 점의 좌표는 다음과 같다.

  $\left({mx_{2}+nx_{1} \over m+n},{my_{2}+ny_{1} \over m+n},{mz_{2}+nz_{1} \over m+n}\right)$

• 특히, 이 두 점을 잇는 선분의 중점의 좌표는 다음과 같다.

  $\left({x_{2}+x_{1} \over 2},{y_{2}+y_{1} \over 2},{z_{2}+z_{1} \over 2}\right)$

• 또한, 이 두 점을 $m:n$의 비율로 외분하는 점의 좌표는 다음과 같다.

  $\left({mx_{2}-nx_{1} \over m-n},{my_{2}-ny_{1} \over m-n},{mz_{2}-nz_{1} \over m-n}\right)$