내분과 외분

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주어진 비율의 내분점과 외분점의 작도법. 각각 A와 B를 지나는 두 평행선을 긋고, 그들 위에서 길이 비율이 5:3인 선분 AA', BB'를 취한 뒤, 선분 A'B' 와 AB의 교점을 취하면 된다.
주어진 내/외분비의 내분점과 외분점의 작도법

기하학에서, 내분(內分)은 선분을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 내분점(內分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 내분비(內分比)라고 한다. 이와 비슷하게, 외분(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 외분점(外分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 외분비(外分比)라고 한다.

정의[편집]

내분비와 외분비의 정의식, 그리고 내분비 또는 외분비가 2, -4, -1/4, 1, 0일 때의 예시
내/외분비의 정의와 예시

공선점 ()의 내/외분비(영어: division ratio) 는 다음을 만족시키는 유일한 수이다.

즉, 이는 다음과 같다.

성질[편집]

함수 λ=t/(1-t)의 그래프
|AB| = 1일 때, t = |AC|와 λ = (A, B; C)의 관계 λ = t / (1 - t)의 그래프
선분 AB의 내분점 T 및 직선 AB 밖의 점 O
TOAOB의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수(다시 말해, 좌표계 (O; OA, OB) 아래 T의 좌표)는 AB에 대한 T의 내분비를 통해 표시할 수 있다.
  • 세 점의 위치 관계에 따른 내/외분비의 범위는 다음과 같다.
위치 관계 내/외분비의 범위
밖의, 와 가까운 쪽에 있음
사이에 있음
의 중점
밖의, 와 가까운 쪽에 있음
  • 또 다른 점 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
  • 내/외분비는 아핀 변환 아래 불변이다. 즉, 아핀 공간의 공선점 ()와 아핀 변환 에 대하여, 다음이 성립한다.
    • 는 공선점이다.
    • 만약 라면,

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  • 삼각형무게중심은 세 중선의 내분점이며, 세 중선에 대한 무게중심의 내분비는 모두 2이다.
  • 좌표 공간 위의 두 점 의 비율로 내분하는 점의 좌표는 다음과 같다.
  • 특히, 이 두 점을 잇는 선분의 중점의 좌표는 다음과 같다.
  • 또한, 이 두 점을 의 비율로 외분하는 점의 좌표는 다음과 같다.