계승진법

수학에서 계승진법(階乘進法, 영어: factorial number system, factoradic system)은 자연수를 계승들의 합으로 표기하는 표기법이다. 이를 통해 순열들의 집합 위의 전순서를 쉽게 매길 수 있다. 학교 내신 문제에서 주로 나오는 사전식 배열 문제를 풀 때도 용이하다.

정의

계승진법에서, 자연수 $a\in \mathbb {N}$는 다음과 같은 꼴로 표현된다.

$a=(\dotso a_{4}a_{3}a_{2}a_{1})_{!}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i+1}i!$

여기서

$a_{i}\in \{0,1,\dotsc ,i-1\}$

이다. 특히, 마지막 자리 $a_{1}$의 값은 항상 0이다.

예를 들어,

$341010_{!}=3\times 5!+4\times 4!+1\times 3!+0\times 2!+1\times 1!+0\times 0!=463$

이다.

성질

계승진법으로의 변환

자연수 $a\in \mathbb {N}$의 계승진법 표기

$(\dotso a_{4}a_{3}a_{2}a_{1})_{!}$

는 다음과 같은 재귀적 알고리즘으로 주어진다.

$b_{0}=a$

$a_{i}\equiv b_{i-1}{\pmod {i}}$

$b_{i}=\lfloor b_{i-1}/i\rfloor$

예를 들어, 463의 계승진법 표현은 다음과 같다.

bi−1	=	bi	×	i	+	ai
463	=	463	×	1	+	0
	↙
463	=	231	×	2	+	1
	↙
231	=	77	×	3	+	0
	↙
77	=	19	×	4	+	1
	↙
19	=	3	×	5	+	4
	↙
3	=	0	×	6	+	3
	↙
0	=	0	×	7	+	0
	↙
0	=	0	×	8	+	0
	↙
⋮		⋮		⋮		⋮

즉,

463 = 341010_!

이다.

순열과의 관계

계승진법을 사용하여, 크기 $n$의 알파벳

$\Sigma =\{{\mathtt {x}}_{0},{\mathtt {x}}_{1},\dotsc ,{\mathtt {x}}_{k-1}\}$

의 순열들의 집합(대칭군)

$\operatorname {Sym} (\Sigma )$

과 자연수 집합

$\{0,1,\dotsc ,k!-1\}$

사이의 표준적인 전단사 함수를 정의할 수 있다.

구체적으로, 자연수 $0\leq m\leq k!-1$를 $k$자릿수의 계승진법으로 표기하였을 때

$m=(m_{k}m_{k-1}\dotsc m_{2}m_{1})_{!}$

라고 하자. 그렇다면, $m$에 대응하는 순열

$m\colon \Sigma \to \Sigma$

은 다음과 같은 알고리즘에 의하여 주어진다.

• 크기 $k$의 집합 $\Sigma$의 $m_{k}$번째 원소가 $\sigma ({\mathtt {x}}_{0})$이다.
• 크기 $k-1$의 집합 $\Sigma \setminus \sigma \{{\mathtt {x}}_{0}\}$의 $m_{k-1}$번째 원소가 $\sigma ({\mathtt {x}}_{1})$이다.
• ⋮
• 일반적으로, 크기 $k-p$의 집합 $\Sigma \setminus \sigma \{{\mathtt {x}}_{0},{\mathtt {x}}_{1},\dotsc ,{\mathtt {x}}_{p-1}\}$의 $m_{k-p}$번째 원소가 $\sigma ({\mathtt {x}}_{p})$이다.
• ⋮
• 크기 2의 집합 $\Sigma \setminus \sigma \{{\mathtt {x}}_{0},\dotsc ,{\mathtt {x}}_{k-3}\}$의 $m_{2}$번째 원소가 $\sigma ({\mathtt {x}}_{k-2})$이다.
• 크기 1의 집합 $\Sigma \setminus \sigma \{{\mathtt {x}}_{0},\dotsc ,{\mathtt {x}}_{k-2}\}$의 $m_{1}=0$번째 원소가 $\sigma ({\mathtt {x}}_{k-1})$이다. ($\Sigma \setminus \sigma \{{\mathtt {x}}_{0},\dotsc ,{\mathtt {x}}_{k-2}\}$에서 이미 원소가 하나 밖에 남지 않았으므로 이 단계는 자명하다.)

이 알고리즘에서, ‘집합의 〜번째 원소’란 0번째부터 센다.

예를 들어, $n=3$일 때, 수 {0,1,2,3,4,5}와 알파벳 $\{{\mathtt {x}}_{0},{\mathtt {x}}_{1},{\mathtt {x}}_{2}\}$ 위의 순열 사이의 대응은 다음과 같다.

수	멱승진법	순열
0	000!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\\end{pmatrix}}$
1	010!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{2}&{\mathtt {x}}_{1}\\\end{pmatrix}}$
2	100!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{2}\\\end{pmatrix}}$
3	110!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}&{\mathtt {x}}_{0}\\\end{pmatrix}}$
4	200!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{2}&{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}\end{pmatrix}}$
5	210!	${\begin{pmatrix}{\mathtt {x}}_{0}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{2}\\{\mathtt {x}}_{2}&{\mathtt {x}}_{1}&{\mathtt {x}}_{0}\end{pmatrix}}$

역사

게오르크 칸토어가 1869년에 이미 자릿수마다 진법이 바뀌는 수 표기법에 대하여 연구하였다. 1888년에 샤를앙주 레장(프랑스어: Charles-Ange Laisant IPA: [ʃaʁl ɑ̃ʒ lɛzɑ̃], 1841〜1920)이 구체적으로 다루었으며, 순열과의 관계를 밝혔다.

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  게오르크 칸토어
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  샤를앙주 레장