쉴로브 기저

군론에서 쉴로브 기저(Sylow基底, 영어: Sylow basis)는 어떤 군 속의, 서로 (집합으로서) 가환하는, 각 소수에 대한 쉴로브 부분군들의 족이다. 쉴로브 기저의 존재는 유한군이 가해군인 것과 동치이며, 만약 존재한다면 쉴로브 기저는 켤레 아래 유일하다.

정의

소수의 집합을

$\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,\dotsc \}$

로 표기하자.

군 $G$의 쉴로브 기저는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모든 소수 $p$에 대하여, 쉴로브 $p$-부분군 $S_{p}\in \operatorname {Syl} _{p}(G)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $S_{p}S_{q}=S_{q}S_{p}\qquad \forall p,q\in \mathbb {P}$

유한군 $G$의 홀 부분군(영어: Hall subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군 $H\leq G$이다.

• $|H|$와 $|G/H|$가 서로소이다.

소수의 집합 $\pi \subseteq \mathbb {P}$가 주어졌을 때, 유한군 $G$의 홀 $\pi$-부분군(영어: Hall $\pi$-subgroup)은 다음 성질을 만족시키는 부분군 $H\leq G$이다.

• $|H|$의 모든 소인수는 $\pi$에 속하며, $|G/H|$의 모든 소인수는 $\mathbb {P} \setminus \pi$에 속한다.

만약 유한군의 쉴로브 기저 $(S_{p})_{p\in \mathbb {P} }$ 및 소수의 집합 $\pi \subseteq \mathbb {P}$이 주어졌을 때,

$\left\langle \bigcup _{p\in \pi }S_{p}\right\rangle \leq G$

는 $G$의 홀 $\pi$-부분군이다.

성질

존재

유한군 $G$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 가해군이다.
• 임의의 $\pi \subseteq \mathbb {P}$에 대하여, 홀 $\pi$-부분군이 존재한다.
• 임의의 $p\in \mathbb {P}$에 대하여, 홀 $(\mathbb {P} \setminus \{p\})$-부분군이 존재한다.
• 쉴로브 기저가 존재한다.

유일성

유한 가해군 $G$의 임의의 두 쉴로브 계는 서로 켤레 동치이다. 즉, 임의의 두 쉴로브 기저 $(S_{p})_{p\in \mathbb {P} }$, $(S'_{p})_{p\in \mathbb {P} }$에 대하여,

$gS_{p}g^{-1}=S_{p}\qquad \forall p\in \mathbb {P}$

인 $g\in G$가 존재한다.

슈어-차센하우스 정리

임의의 유한군 $G$의 정규 홀 부분군 $N\vartriangleright G$에 대하여, 슈어-차센하우스 정리(Schur-Zassenhaus定理, 영어: Schur–Zassenhaus theorem)에 따르면,

$NH=HN=G$

$N\cap H=\{1\}$

인 부분군 $H\leq G$이 존재한다.

역사

필립 홀이 1928년에 가해군에 대한 쉴로브 기저의 존재 및 켤레 아래 유일성을 증명하였다.

슈어-차센하우스 정리는 이사이 슈어가 증명하였으며, 한스 차센하우스의 1937년 군론 교재에 최초로 등장하였다.

외부 링크

• “Hall subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sylow basis”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Hall subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Hall’s theorem”. 《Groupprops》 (영어). 
• Roney-Dougal, Colva M. “Soluble groups” (PDF) (영어). 2018년 7월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 2월 2일에 확인함.