공간곡선의 T , N , B 벡터 및 T 와 N 으로 생성되는 접촉평면 .
미분기하학 에서 프레네-세레 공식 (Frenet-Serret formulas)은 곡선 의 움직임을 묘사하는 공식으로, 단위 접벡터, 법벡터 및 이중접벡터 사이의 관계를 나타낸다. 1847년에 이 공식을 발견한 장 프레데릭 프레네 (Jean Frédéric Frenet)와 1851년에 이를 독자적으로 다시 발견한 조제프 알프레드 세레 (Joseph Alfred Serret)의 이름을 땄다. 공식 자체가 발견된 것은 19세기 중반이나, 이 글에서 사용하는 벡터 기호 및 선형대수학 등은 그로부터 한참 후에 발명되었다.
두 점에서의 T 와 N 벡터 및 두 번째 틀을 첫 번째 틀의 위치로 이동시킨 결과(점선). T 벡터가 δT' 만큼 변화한 것을 알 수 있다. 두 점 사이의 거리를 δs로 놓으면 δT /δs의 극한
d
T
d
s
{\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}}
은 N 의 방향을 가리키게 되며, 곡률은 틀이 회전하는 속도를 나타낸다.
r (t)를 유클리드 공간 의 곡선 으로, 위치벡터 를 시간의 함수로 나타낸 것이라 하자. 프레네-세레 공식은 '비퇴화 곡선'에 대해서만 적용되는데, 이는 대략적으로 말하면 곡선이 곡률 을 가진다는 뜻이다. 보다 정확히 말하면, 속도벡터 r ′(t)와 가속도벡터 r ′′(t)가 서로 평행이 아니어야 한다.
곡선상에서 시간 t까지 입자가 움직인 거리를 s(t)로 나타내자. 여기에서 s는 호의 길이 로 매개화되어,
s
(
t
)
=
∫
0
t
‖
r
′
(
τ
)
‖
d
τ
{\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau }
가 성립한다. 또한 r' ≠0라고 가정했으므로 t를 s에 대해 나타낼 수 있고, 이에 따라 r (s) = r (t(s))로 쓸 수 있다. 이제 비퇴화 곡선 r (s)에 대해 프레네-세레 틀을 다음과 같이 정의한다.
T
=
d
r
d
s
.
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {T} ={d\mathbf {r} \over ds}.\qquad \qquad (1)}
N
=
d
T
d
s
‖
d
T
d
s
‖
.
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\|}.\qquad \qquad (2)}
B
=
T
×
N
.
(
3
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)}
(B 의 정의에 등장하는 곱셈 기호에 대해서는 외적 문서를 참고할 것.)
T 는 단위 벡터이므로, 위의 방정식 (2)로부터 N 이 언제나 T 에 수직임을 알 수 있으며, 또한 방정식 (3)으로부터 B 가 T 와 N 양쪽 모두에 수직이라는 것도 알 수 있다. 따라서 세 벡터는 각자에 대해 서로 수직이다. 보다 구체적으로는 다음이 성립한다:
T
×
N
=
B
,
(
4
)
{\displaystyle \mathbf {T} \times \mathbf {N} =\mathbf {B} ,\qquad \qquad (4)}
N
×
B
=
T
.
(
5
)
{\displaystyle \mathbf {N} \times \mathbf {B} =\mathbf {T} .\qquad \qquad (5)}
.
B
×
T
=
N
.
(
6
)
{\displaystyle \mathbf {B} \times \mathbf {T} =\mathbf {N} .\qquad \qquad (6)}
.
이제 드디어 프레네-세레 공식 을 서술하자:
d
T
d
s
=
κ
N
d
N
d
s
=
−
κ
T
+
τ
B
d
B
d
s
=
−
τ
N
.
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} .&\end{matrix}}}
여기에서
κ
{\displaystyle \kappa }
는 곡률 이며,
τ
{\displaystyle \tau }
는 곡선 비틀림 이다.
프레네-세레 공식은 다른 말로 '프레네-세레 정리'라고도 하며, 다음의 행렬 기호를 이용하면 보다 간결하게 나타낼 수 있다:
[
T
′
N
′
B
′
]
=
[
0
κ
0
−
κ
0
τ
0
−
τ
0
]
[
T
N
B
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
(이 행렬은 반대칭행렬 이다.)
같이 보기 [ 편집 ]