현수선

매달린 체인은 현수선 형태를 이룬다.

현수선(懸垂線, Catenary)은 물리학과 기하학에서, 밀도가 균일한 사슬이나 케이블 따위가 양끝 부분만이 고정되어 그 자체 무게만으로 드리워져 있을 때 나타나는 곡선이다. 쌍곡코사인 함수로 나타낼 수 있으며, 수학적으로는 상당히 다르지만 포물선과 비슷해보여 혼동될 수 있다. 특정한 아치 설계에서도 사용되는 모양이다. 평행한 두 원형 링에 비누막을 쳤을 때 나타나는 곡면을 현수면이라고 하는데, 이를 중심축 방향으로 자른 선이 또한 현수선이다. 현수면은 현수선의 회전체로서 극소곡면이며, 평면을 제외하고 회전체인 유일한 극소곡면이다.

현수선은 '그 자체 무게만으로 드리워져 있는 밀도가 균일한 선상'이라고 물리학적으로 정의된 곡선이므로, 각 지점에는 중력과 장력만이 작용하고 이를 분석함으로써 수학적으로 나타낼 수 있다. 현수선 아치는 현수선을 뒤집은 모양으로 설계하여 모든 하중이 압축 응력으로만 작용하게 만든 구조물인데, 이러한 물리학적 정의에 근거하면 현수선 모양으로 아치를 만들었을 때 인장 응력이 발생하지 않고 가장 견고함을 증명할 수 있다.

수학적 표현

가우디의 카사밀라의 지붕 아래의 현수선 아치

직교좌표에서 현수선의 방정식은 다음과 같은 꼴을 가지는데, 여기서 'cosh'는 쌍곡코사인 함수를 뜻한다.

$y=a\,\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\,\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)\,$

일반적으로 모든 현수선 모양은 서로에 대해 닮음이며, 변수 a의 값에 따라 비례 축소가 달라진다. 현수선 아치로 알려져 있는 것 중에 정확하게 현수선은 아닌 것들이 있는데, 흔히 납작한 현수선이라고 하며 일반적으로 $y=a\,\cosh \left(bx\right)$를 만족한다. $ab=1$인 경우만이 실제로 현수선인 것이다.

포물선이 직선 위를 미끄러짐 없이 굴러간다고 할 때, 포물선의 초점이 그리는 자취가 현수선이 된다. 또한 같은 상황에서 준선 자취가 그리는 포락선 역시 현수선이 된다. 한편 현수선의 신개선은 추적선(tractrix)이 되는데, 추적선이란 X선 상을 일정한 속도로 움직이는 한 점을 향해 다른 한 점이 일정한 속력으로 쫓아붙을 때 생기는 곡선이다.