추적선

기하학에서, 추적선(追跡線, 영어: tractrix)이란 마찰이 있는 상황에서 어떤 점을 수평선을 따라 이동시킬 때 점과 선분으로 연결된 물체가 남기는 경로이다.

추적선은 1670년에 클로드 페로가 처음 언급했으며 이후 아이작 뉴턴(1676)과 크리스티안 하위헌스(1693)가 연구하였다.^[1]

정의

y축 위에서 이동하는 점과 길이가 4인 선분으로 연결된 물체가 그리는 추적선

물체의 처음 위치가 $(a, 0)$ 이고(그림에서는 $(4, 0)$ ), 물체와 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 하자. 이때 물체가 이동하는 경로인 추적선은 다음의 식으로 표현된다. $y=\pm \!\left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)=\pm \!\left(a\operatorname {arsech} {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\right.$ 마지막 식에서 맨 앞의 부호는 점이 y축의 +방향으로 이동하는지, 아니면 -방향으로 이동하는지에 따라 결정된다.

식은 다음과 같은 방법으로 유도된다. 매 순간마다, 점과 물체를 잇는 선분의 기울기는 물체의 해당 위치에서 추적선 $y = y (x)$ 의 기울기와 같다. 즉 물체가 좌표평면 상에서 $(x, y)$ 에 위치할 때, 피타고라스의 정리에 의해 y좌표에서 이동하는 점의 좌표는 $y+\operatorname {sign} (y){\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ 이다. 추적선은 $y (x)$ 는 다음의 미분방정식을 만족한다.

{\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}

이때 곡선은 초기 조건인 $y (a) = 0$ 을 만족해야 한다. 따라서 주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는

$y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt$

가 되고, 이를 풀면 위의 식이 도출된다.

성질

추적선은 $x=t-\tanh(t),y=1/{\cosh(t)}$ 으로 매개화된다.^[2]
추적선의 정의에 따라, 추적선 위의 점과 그 점에서의 접선이 점근선과 만나는 점까지의 거리는 일정하다.
추적선의 꺾이지 않는 연속적인 구간 내에서, $x = x 1$ 과 $x = x 2$ 사이의 곡선의 길이는 $a ln .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠x1/x2⁠$ 이다.
추적선과 점근선 사이 영역의 넓이는 $⁠ π a 2 / 2 ⁠$ 이다.
추적선의 축폐선은 현수선이다. 즉 추적선은 현수선의 신개선이다. 이때 현수선의 식은 $y = a cosh ⁠ x / a ⁠$ 이다.
추적선은 초월함수의 곡선이다. 즉 곡선은 다항함수로는 표현 불가능하다.
추적선을 점근선에 대해 회전하면 유사구가 된다.

각주

↑ Stillwell, John (2010). 《Mathematics and Its History》 revis, 3판. Springer Science & Business Media. 345쪽. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

참고 문헌

Kasner, Edward; Newman, James (1940). 《Mathematics and the Imagination》. Simon & Schuster. 141–143쪽.
Lawrence, J. Dennis (1972). 《A Catalog of Special Plane Curves》. Dover Publications. 5, 199쪽. ISBN 0-486-60288-5.

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외부 링크

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추적선

O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
“Tractrix”. 《PlanetMath》 (영어).
“Famous curves on the plane.”. 《PlanetMath》 (영어).

[1] Stillwell, John (2010). 《Mathematics and Its History》 revis, 3판. Springer Science & Business Media. 345쪽. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345

[2] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

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