라그랑주 네 제곱수 정리

라그랑주의 네 제곱수 정리(프랑스어: Théorème des quatre carrés de Lagrange, Lagrange's four-square theorem, -數 定理)는 정수론의 정리로, 디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.

• 모든 자연수 n은 네 개 정수 제곱수의 합으로 표현할 수 있다.

증명의 개략

증명은 다음과 같은 단계를 거쳐 할 수 있다.

1. p가 홀수인 소수이면 합동식 $x^{2}+y^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$ 를 만족하는 $0\leq x_{0},y_{0}\leq {\frac {p-1}{2}}$ 인 해 $(x_{0},y_{0})$ 이 존재함을 보인다.
2. 이를 이용하여 p가 홀수인 소수이면 정수 k < p가 존재하여 kp가 네 개 제곱수의 합이 됨을 보인다.
3. 이상의 결과와 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용하여 모든 소수 p가 네 제곱수의 합으로 표현 가능함을 보인다.
4. 마지막으로, 임의의 네 제곱수의 합으로 표현 가능한 두 수의 곱 역시 오일러의 네 제곱수 항등식에 의해 네 제곱수의 합으로 표현 가능하므로, 산술의 기본 정리에 의해 결론을 얻는다.

같이 보기

• 페르마의 두 제곱수 정리
• 페르마의 다각수 정리
• 15 정리
• 야코비의 네 제곱수 정리
• 웨어링의 문제

바깥 고리

• [ http://domath.kr/wiki/index.php/Quadric_Dioph_Lagrange Quadric Dioph Lagrange - Domath ] ( 증명 자세히 보기 )

참고 문헌

• 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003