페르마 두 제곱수 정리

페르마의 두 제곱수 정리(프랑스어: Théorème des deux carrés de Fermat, Fermat's theorem on sums of two squares, -數 定理)는 정수론의 정리로, 프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.

이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.

• 만약 어떤 소수 p가 4로 나누어 나머지가 1이 된다면, 적당한 두 자연수 a, b가 존재하여 $p=a^{2}+b^{2}$ 를 만족한다.

증명

오일러가 처음 제시한 증명은 무한강하법을 이용하는 것이었으나, 현재까지 제시된 이 정리의 증명 중에서는 비교적 복잡하다. 여기서는 투에의 보조정리를 이용한 증명을 제시한다.

4k+1 꼴의 소수 p에 대해서는 -1이 제곱잉여가 되므로, $a^{2}\equiv -1{\pmod {p}}$ 가 되는 정수 a가 존재한다.

(a, p) = 1이므로, 투에의 보조정리에 따라서, 합동식 $ax\equiv y{\pmod {p}}$ 와 $0<|x|,|y|<{\sqrt {p}}$ 을 만족하는 정수 x, y가 존재한다.

그러므로,

$y^{2}\equiv (ax)^{2}\equiv -x^{2}{\pmod {p}}$

이므로 적당한 정수 r에 대해 $x^{2}+y^{2}=rp$ 이 된다. 그런데 x, y의 조건에 의해 이를 만족하는 r은 1뿐이다.

확장

페르마의 두 제곱수 정리는 다음과 같은 꼴로 확장할 수 있다.

• 자연수 n이 두 제곱수의 합으로 표현될 필요충분조건은 적당한 자연수 a와 4n+3 꼴의 소인수를 갖지 않는 제곱 자유수 b에 대해 $n=a^{2}b$ 일 것이다.

충분조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요조건의 증명에는 제곱잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

같이 보기

• 투에의 보조정리
• 라그랑주의 네 제곱수 정리

참고 문헌

• 오정환; 이준복 (2003). 《정수론》.