투과 계수

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일반적으로 투과계수(透過係數)는 전자기파 등을 비롯한 어떤 파동이 다른 물체와의 경계면에 입사했을 때, 그 물체를 투과하는 정도를 가리키는 것으로 광학이나 양자역학에서 사용되는 개념이다.

광학에서의 투과계수[편집]

광학에서 투과계수는 전자기파가 어떤 매질의 표면이나 광학소자를 통과하는 정도를 가리킨다. 입사파(入射坡)와 투과파(透過波)간의 진폭이나 세기(광도)의 비를 이용해 계산한다.

투과계수의 계산[편집]

전자기파의 단위면적당 세기, 즉 광도(intensity)는 다음과 같다.

I=\frac{1}{2} \epsilon vE_0^2 \qquad \,E_0는 전자기파에서 전기장의 진폭.

유전율\, \epsilon_1매질에서 \, \epsilon_2인 매질로 전자기파가 진행할 때, 입사광과 투과광의 광도와 속도를 각각 \, I_1\, I_2, \, v_1\, v_2라고 하면, 투과계수는 다음과 같이 정의된다.

T \equiv \frac{I_T}{I_I} = \frac{\epsilon_2 v_2}{\epsilon_1 v_1}\left(\frac{E_{0_T}}{E_{0_I}}\right)^2 = \frac{4n_{1} n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^2}.

여기에서 \, n_{1}\, n_{2}는 두 매질의 굴절률을 가리킨다.

투과계수에 대응하는 개념으로 반사계수(反射係數)가 있다. 반사계수는 매질이나 광학소자의 표면에서 반사되는 정도이다. 반사계수는 다음과 같이 정의된다.

R \equiv \frac{I_R}{I_I} = \left(\frac{E_{0_R}}{E_{0_I}}\right)^2 = \frac{(n_{1} - n_{2})^2}{(n_{1} + n_{2})^2}.

에너지 보존 법칙에 따라 \, T+R=1이다.

양자역학에서의 투과계수[편집]

비상대론적(non-relativistic) 양자역학에서, 투과계수(transmission coefficient)와 반사계수(reflection coefficient)는 경계면에 파가 입사되었을 때 거동을 묘사할 때 쓰인다. 투과계수는 종종 경계를 터널링하는 확률을 나타내는 데 사용된다.

투과계수는 입사와 투과 확률 흐름 밀도(transmitted probability current density) j를 사용하여 다음과 같이 정의한다:

T = \frac{|j_{transmitted}|}{|j_{incident}|}

여기서 j_{incident}는 경계층을 입사하는 확률이고 j_{transmitted}는 경계층을 투과하는 확률이다.

반사계수 R은 다음과 같이 투과계수와 비슷하게 정의된다.

R=\frac{|j_{refleced}|}{|j_{incident}|}

두 계수의 합은 확률 보존에 의해 \, T+R=1이다.

WKB 근사법에 의한 투과계수 계산[편집]

WKB 근사법을 이용하여, 터널링 계수를 구하면 다음과 같다.

T = \frac{e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{ \left( 1 + \frac{1}{4} e^{-2\int_{x_1}^{x_2} dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} \right)^2}

여기서, x_1,x_2은 전위 장벽의 두 개의 고전적인 회귀점이다. 만약 \hbar \rightarrow 0의 근사를 취하여 플랑크 상수보다 매우 큰 매개변수에 고전적 한계를 취하면, 투과계수는 정확하게 0으로 수렴한다. 이런 고전 극한은 현실적이지가 않고, 좀 더 단순히 풀기 위해, 네모 전위(square potential)이라 가정한다.

만약 투과 계수가 1보다 매우 작으면, 식을 다음과 같이 근사할 수 있다.

T \approx 16 \frac{E}{U_0} (1-\frac{E}{U_0}) e^{-2 L \sqrt{m (U_0-E)}}

여기서,  L = x_2 - x_1 은 전위장벽의 두께이다.

같이 보기[편집]