토렐리 정리

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대수기하학에서, 토렐리 정리(Torelli定理, 영어: Torelli theorem)는 리만 곡면이 그 야코비 다양체에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 모듈러스 공간에서 야코비 다양체로의 사상은 단사 함수이다. K3 곡면[1]칼라비-야우 다양체[2] 의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

정의[편집]

종수가 리만 곡면들의 모듈러스 공간 는 (인 경우) 차원 복소 공간이다. 차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간

차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 리만 곡면 로부터 그 야코비 다양체

를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 로 가는 사상

를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사 함수이다.

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종수가 인 경우, 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

인 경우,

이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

종수가 인 경우에도 이다. 이 경우, 폐포 전체이다.[3]

종수가 인 경우 이다. 이 경우, 는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(영어: Schottky problem)라고 한다.[3]

역사[편집]

루제로 토렐리(이탈리아어: Ruggiero Torelli)가 1913년 증명하였다.[4][5]

참고 문헌[편집]

  1. Friedman, Robert. “A new proof of the global Torelli theorem for K3 surfaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 120 (2): 237–269. doi:10.2307/2006942. JSTOR 2006942. Zbl 0559.14004. 
  2. (영어). arXiv:1112.1163.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
  3. Debarre, Olivier. “The Schottkey problem: an update” (PDF). 
  4. Torelli, Ruggiero (1913). “Sulle varietà di Jacobi”. 《Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti》 (이탈리아어) 22 (2): 98–103. ISSN 0001-4435. JFM 44.0655.03. 
  5. Collino, Alberto (1987). “A simple proof of the theorem of Torelli based on Torelli’s approach”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 100: 16–20. doi:10.1090/S0002-9939-1987-0883393-4. MR 883393. 

바깥 고리[편집]