탁구 정리

군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 영어: ping-pong lemma)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

군 $G$
$G$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용
$G$ 의 두 부분군 $H,H'\leq G$
$X$ 의 두 부분 집합 $Y,Y'\subseteq X$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

$|H|\geq 3$
$Y\neq \varnothing \neq Y'$
$Y\not \subseteq Y'$
$h'\cdot Y\subseteq Y'\qquad \forall h'\in H'\setminus \{1\}$
$h\cdot Y'\subseteq Y\qquad \forall h\in H\setminus \{1\}$

탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

\langle H\cup H'\rangle =H*H'

여기서 좌변은 $G$ 의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.

증명:

임의의

a_{0},a_{2},\dotsc \in H\setminus \{1\}

b_{1},b_{3},\dotsc \in H\setminus \{1\}

n\in \mathbb {Z} ^{+}

에 대하여,

㈎ $a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm a_{n+1}\neq 1$
㈏ $b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm b_{n}\neq 1$
㈐ $a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}\neq 1$
㈑ $b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm a_{n+1}\neq 1$

임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는

a_{0}b_{1}\dotsm a_{n}\cdot Y'\subseteq a_{0}b_{1}\dotsm b_{n}\cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_{0}Y'\subseteq Y

인데, $Y'\not \subseteq Y$ 이므로 $a_{0}b_{0}\dotsm b_{n}a_{n}\neq 1$ 이다.

㈏의 경우, 임의의 $a_{0}=a_{n+1}^{-1}\in H\setminus \{1\}$ 를 고르면, ㈎에 의하여 $a_{0}(b_{1}\dotsm b_{n-1})a_{0}^{-1}\neq 1$ 이므로 $b_{1}\dotsm b_{n-1}\neq 1$ 이다.

㈐의 경우, 임의의 $a_{n+1}\in H\setminus \{1,a_{0}\}$ 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{n+1}^{-1}(a_{0}b_{0}\dotsm b_{n})a_{n+1}\neq 1$ 이므로, $a_{0}b_{0}\dotsm b_{n-1}\neq 1$ 이다.

㈑의 경우, 임의의 $a_{0}\in H\setminus \{1,a_{n+1}\}$ 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{0}(b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1})a_{0}^{-1}\neq 1$ 이므로, $b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1}\neq 1$ 이다.