탁구 정리의 이름은 탁구에서 공이 번갈아 움직이는 것에 빗댄 것이다.
군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 영어: ping-pong lemma)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
의, 집합
위의 왼쪽 작용
의 두 부분군 ![{\displaystyle H,H'\leq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495684c30b20862d704748b812b8d37213c0a65f)
의 두 부분 집합 ![{\displaystyle Y,Y'\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754edd719950c2f31634f7ba98c70da5da40651e)
또한, 다음이 성립한다고 하자.
![{\displaystyle |H|\geq 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed7b4d1dc8380f64f241f588b83d23b4d0f36fb2)
![{\displaystyle Y\neq \varnothing \neq Y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbcec6f2e07fbc03de5120faa95b9d73fae6133)
![{\displaystyle Y\not \subseteq Y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee9fac754ca85f3ddddcf83a8d0d2d1ea26ff1b)
![{\displaystyle h'\cdot Y\subseteq Y'\qquad \forall h'\in H'\setminus \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a19da83a8b391c6a847479550cda674b8efa1)
![{\displaystyle h\cdot Y'\subseteq Y\qquad \forall h\in H\setminus \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fa5c2e336c14f162aa8d697b3eb8bb9890dba7)
탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \langle H\cup H'\rangle =H*H'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3afbe76df879d2b40163406eede1e36e954705a)
여기서 좌변은
의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.
증명:
임의의
![{\displaystyle a_{0},a_{2},\dotsc \in H\setminus \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd038984f435c0f14ddcdf10584567a99802ac3)
![{\displaystyle b_{1},b_{3},\dotsc \in H\setminus \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420736bd36c7f75925b4d0444e720c425863d0e0)
![{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173a93c371b12dad1162023bfc036ca96898d21e)
에 대하여,
- ㈎
![{\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm a_{n+1}\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60be7882b26f8f819178abb057ce8580f817e4a7)
- ㈏
![{\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm b_{n}\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa262e9b8a87c68cb70767e717b14b27fc0204)
- ㈐
![{\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4f268c305df056a291eff715088d29feb8e98b)
- ㈑
![{\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm a_{n+1}\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81927336fbcb14f8c19be08f2c1939fbea298641)
임을 보이면 족하다.
우선, ㈎의 경우는
![{\displaystyle a_{0}b_{1}\dotsm a_{n}\cdot Y'\subseteq a_{0}b_{1}\dotsm b_{n}\cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_{0}Y'\subseteq Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d5a3fd4cbc7c23df1eadfc902e50c7e65f8824)
인데,
이므로
이다.
㈏의 경우, 임의의
를 고르면, ㈎에 의하여
이므로
이다.
㈐의 경우, 임의의
를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여
이므로,
이다.
㈑의 경우, 임의의
를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여
이므로,
이다.
이 정리의 이름은 증명 과정에서
와
의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.
탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.
에서,
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e9b7ec42351e9faf7ed986307e999d0265ec20)
![{\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26885512fbc60edd5529ef2a3472908bd85f8e14)
로 생성되는 부분군을 생각하자.
와
는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉,
이 되는
는
밖에 없으며,
의 경우도 마찬가지이다.) 사실,
![{\displaystyle A^{n}={\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31759821e24726605eaf2932dce82656f922182)
![{\displaystyle B^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48e66093efcd844d86636885317614ebd9d6a8f)
이다. 이제,
는
위에 선형 변환으로 작용한다.
![{\displaystyle Y=\{(x,y)\in X\colon |x|>|y|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8b2a3c554375efc7e4b620bd5721d64c0fb0ca)
![{\displaystyle Y'=\{(x,y)\in X\colon |x|<|y|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79496766afd74e94279ddf916d531ac5b4ef4157)
로 잡으면,
![{\displaystyle A^{n}Y'\subseteq Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751a322cf893f507b867d38552589d6074aa8fb7)
![{\displaystyle B^{n}Y\subseteq Y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6896b96ebf438e94a8e2d91183fcd8c9f77cda02)
임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여
은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]