퀵 정렬
 난수열에 대해 퀵 정렬을 실행한 그림. 수평선은 피벗 값을 가리킨다. | |
| 분류 | 정렬 알고리즘 |
|---|---|
| 자료 구조 | 배열 |
| 최악 시간복잡도 | |
| 최선 시간복잡도 | |
| 평균 시간복잡도 | |
퀵 정렬(Quicksort)은 찰스 앤터니 리처드 호어가 개발한 정렬 알고리즘이다. 다른 원소와의 비교만으로 정렬을 수행하는 비교 정렬에 속한다.
퀵 정렬은 n개의 데이터를 정렬할 때, 최악의 경우에는 O(n2)번의 비교를 수행하고, 평균적으로 O(n log n)번의 비교를 수행한다.
퀵 정렬의 내부 루프는 대부분의 컴퓨터 아키텍처에서 효율적으로 작동하도록 설계되어 있고(그 이유는 메모리 참조가 지역화되어 있기 때문에 CPU 캐시의 히트율이 높아지기 때문이다.), 대부분의 실질적인 데이터를 정렬할 때 제곱 시간이 걸릴 확률이 거의 없도록 알고리즘을 설계하는 것이 가능하다. 때문에 일반적인 경우 퀵 정렬은 다른 O(n log n) 알고리즘에 비해 훨씬 빠르게 동작한다. 그리고 퀵 정렬은 정렬을 위해 O(log n)만큼의 memory를 필요로한다. 또한 퀵 정렬은 불안정 정렬에 속한다.
목차
알고리즘[편집]
퀵 정렬은 분할 정복(divide and conquer) 방법을 통해 리스트를 정렬한다.
- 리스트 가운데서 하나의 원소를 고른다. 이렇게 고른 원소를 피벗이라고 한다.
- 피벗 앞에는 피벗보다 값이 작은 모든 원소들이 오고, 피벗 뒤에는 피벗보다 값이 큰 모든 원소들이 오도록 피벗을 기준으로 리스트를 둘로 나눈다. 이렇게 리스트를 둘로 나누는 것을 분할이라고 한다. 분할을 마친 뒤에 피벗은 더 이상 움직이지 않는다.
- 분할된 두 개의 작은 리스트에 대해 재귀(Recursion)적으로 이 과정을 반복한다. 재귀는 리스트의 크기가 0이나 1이 될 때까지 반복된다.
재귀 호출이 한번 진행될 때마다 최소한 하나의 원소는 최종적으로 위치가 정해지므로, 이 알고리즘은 반드시 끝난다는 것을 보장할 수 있다.
예제[편집]
퀵정렬의 간단한 설명
퀵정렬은 임의의 pivot 값을 기준으로 pivot 의 좌측에는 pivot 보다 작은값을 두고 우측에는 pivot 보다 큰 값을 두고자 한다.
이 행위는 pivot을 기준으로 좌 우로 이분화 된 리스트를 재귀적으로 반복했을 때 결국 정렬이 완성 된다는 방법 론이다.
보다 쉽게 설명하면 pivot보다 큰 값을 pivot index 보다 왼쪽에서 찾고 ( 큰 값 이 나타날 때까지 i index 를 증가시키도록 한다.)
pivot 보다 작은 값을 pivot index 보다 오른쪽에서 찾는다 ( 작은 값이 나타날 때까지 j index를 감소시키도록 한다. )
pivot을 기준으로 값 비교가 완료되었다면 index 결과 i , j 를 비교 해본다.
i 값이 j 값 보다 작거나 같다면 분명 pivot 을 기준으로 교환을 해야할 값이 있다는 뜻이 된다.
교환한 뒤 i 인덱스는 증가 j 인덱스는 감소 연산을 수행한다.
i 인덱스가 j 인덱스보다 작거나 같다면 계속 반복해서 수행한다.
위 와 같은 과정은 pivot을 기준으로 왼쪽으로 정렬된 list 에서는 최초 Left 값이 감소된 j 보다 작다면 계속 재귀하면되고,
pivot을 기준으로 오른쪽으로 정렬된 list 에서는 최초 Right 값이 증가된 i 값보다 크다면 계속 재귀하면된다.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
피벗은 p, 리스트 왼쪽 끝과 오른쪽 끝에서 시작한 인덱스들을 i,j라고 하자.
5 - 3 - 7 - 6 - 2 - 1 - 4 p
리스트 왼쪽에 있는 i 위치의 값이 피벗 값보다 크고, 오른쪽에 있는 j 위치의 값은 피벗 값보다 작으므로 둘을 교환한다.
5 - 3 - 7 - 6 - 2 - 1 - 4 i j p 1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4 i j p
j 위치의 값이 피벗 값보다 작지만, i 위치의 값도 피벗값보다 작으므로 교환하지 않는다.
1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4
i j p
i위치를 피벗 값보다 큰 값이 나올 때 까지 진행해 j 위치의 값과 교환한다.
1 - 3 - 7 - 6 - 2 - 5 - 4 i j p 1 - 3 - 2 - 6 - 7 - 5 - 4 i j p
i위치가 j 위치보다 커지면, i 위치의 값과 피벗 값을 교환한다.
1 - 3 - 2 - 6 - 7 - 5 - 4 p 1 - 3 - 2 - 4 - 7 - 5 - 6 p
피벗 값 좌우의 리스트에 대해 각각 퀵 정렬을 재귀적으로 수행한다.
1 - 3 - 2 7 - 5 - 6 1 - 2 - 3 5 - 6 - 7
완성된 리스트는 다음과 같다.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7
정확성 증명[편집]
퀵 정렬 알고리즘은 분할과 정복의 두 단계를 거치므로 정확성도 그 두 단계를 각각 증명한다. 여기서는 분할이 정확함을 보인다. 분할이 정확하다는 뜻을 풀어서 설명하면 다음과 같다.
"임의의 수 x와 배열 형태의 n개의 자료가 주어졌다고 하자. 그 자료에서 x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료 이후로 오직 x 이상의 값을 가지는 자료들만을 몰아서 놓을 수 있다."
여기서 참고로, 'x 이상의 값을 가지는 것들'은 수학에서 x의 상계라 하고 'x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값'은 x의 상한이라고 한다. 그리고 x는 n개의 자료의 값 가운데 있을 필요는 없다. x를 임의의 수로 놓는 이유는 퀵정렬 알고리즘들이 피봇이라는 수를 다양한 방식으로 고를 수 있기 때문이다. 증명 방법은 수학적 강귀납법이다.
- 임의의 수 x와 1개의 자료가 주어지면 그 유일한 자료의 값이 x 미만이거나 이상이다. 미만일 경우는 x 이상의 값을 가지는 것들 자체가 없다는 뜻이므로 주어진 명제는 참이다. 이상일 경우는 x 이상의 값을 가지는 것들이 x뿐이므로 x 이후에 그런 자료들이 놓여 있다.
- k개 이하의 자료가 주어져도 주어진 명제가 성립한다고 가정한다.
- k+1개의 자료가 주어지면 가장 처음 자료의 값이 x 미만이거나 이상이다.
- 미만일 경우, 퀵정렬 알고리즘은 왼쪽 끝 첨수(index)를 1 증가시켜 분할할 자료의 수를 k개로 만든다. 이 k개의 자료는 2번 가정으로 x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료 이후로 오직 x 이상의 값을 가지는 자료들만 놓일 것이다. 전체 k+1개 자료 역시 마찬가지다.
- 이상일 경우, 퀵정렬 알고리즘은 자료의 마지막부터 x 미만의 값을 가지는 최초의 자료를 찾아 x 이상인 가장 처음 자료와 자리를 바꾼다. 그래서 분할할 자료는 k-2개 이하로 줄어든다. 2번 가정에 의해 남은 k-2개의 자료는 x 이상인 것과 미만인 것으로 분할되고 전체 k+1개의 자료도 마찬가지다. 만약 마지막부터 x 미만의 값을 가지는 자료가 없다면 이것은 이미 전체 자료가 가장 처음 자료만 x 미만, 그 다음 자료부터는 x 이상으로 분할됐다는 것이다.
자료의 배열이 가지는 원소의 수가 유한하므로 x가 자료 중 하나의 값일 경우, x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료는 항상 찾을 수 있다. 퀵 정렬 알고리즘은 분할의 결과로 x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료의 배열 상 위치를 함께 표시하여 정렬의 대상에서 제외한다. 그러므로 알고리즘이 무한히 반복되지 않음을 보장한다. 분할한 부분 배열이 정렬되므로 전체 배열이 정렬된다는 것도 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다.
의사 코드와 세부 설명[편집]
function quicksort(q)
var list less, pivotList, greater
if length(q) ≤ 1 then
return q
select a pivot value pivot from q
for each x in q except the pivot element
if x < pivot then add x to less
if x ≥ pivot then add x to greater
add pivot to pivotList
return concatenate(quicksort(less), pivotList, quicksort(greater))
그러나 위 코드는 두 개의 작은 리스트를 저장하기 위해 Ω(n) 크기의 저장공간이 따로 필요하다는 단점이 있다. 실제 구현에서 임시 메모리는 캐시 성능과 속도에 심각한 저하를 가져올 수 있다. 아래와 같이 추가 메모리 없이 배열 내부에서 분할 작업을 구현하면 좀 더 복잡하지만 추가 메모리를 사용하지 않고 구현할 수 있다.
function partition(a, left, right, pivotIndex)
pivotValue := a[pivotIndex]
swap(a[pivotIndex], a[right]) // 피벗을 끝으로 옮겨 놓는다.
storeIndex := left
for i from left to right-1
if a[i] <= pivotValue then
swap(a[storeIndex], a[i])
storeIndex := storeIndex + 1
swap(a[right], a[storeIndex]) // 피벗을 두 리스트 사이에 위치시킨다.
return storeIndex
이것은 내부 분할 알고리즘이다. 이 알고리즘은 주어진 배열에서 pivotIndex에 위치한 값보다 작은 값들을 리스트의 앞쪽에, 큰 값들을 리스트의 맨 뒤에 몰아넣음으로써 left와 right 위치 사이의 원소들을 두 개로 분할한다. 그리고 그렇게 분할된 두 리스트 사이에 피벗을 위치시키면 피벗의 위치가 정해진다. 또한 피벗 값은 임시로 리스트의 맨 뒤에 저장해놓기 때문에 중간에 피벗의 위치가 바뀌거나 하지 않는다.
이렇게 분할 알고리즘을 구현하면 퀵 정렬은 다음과 같이 간단하게 구현할 수 있다.
function quicksort(a, left, right)
if right > left then
select a pivot value a[pivotIndex]
pivotNewIndex := partition(a, left, right, pivotIndex)
quicksort(a, left, pivotNewIndex-1)
quicksort(a, pivotNewIndex+1, right)
Pascal과 C와 같은 명령형 언어에서는 대부분 이와 같은 내부 분할을 이용해 구현한다.
개선된 피벗 선택[편집]
퀵 정렬에서 피벗 위치를 결정하는 방법에는 여러가지 방법이 있다. 기초적인 방법으로는 난수 분할이 사용되는데, 안정성이 떨어진다. 많은 라이브러리에서는 세 값(좌측 끝, 중앙, 우측 끝)의 중위법을 이용하여 분할한다. 이 방법을 사용하면 중앙에서 분할될 가능성이 높아 전체적으로 정렬의 성능이 좋아진다.
복잡도[편집]
의 리스트를 정렬하는데 걸리는 시간을 , 는 임의의 상수라 하고, 리스트가 두 개의 거의같은 부분집합으로 나뉜다고 가정하여 얻은 평균 시간 복잡도는 다음과 같다.
소스 코드[편집]
C[편집]
void quickSort(int arr[], int left, int right) {
int i = left, j = right;
int pivot = arr[(left + right) / 2];
int temp;
do
{
while (arr[i] < pivot)
i++;
while (arr[j] > pivot)
j--;
if (i<= j)
{
temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
i++;
j--;
}
} while (i<= j);
/* recursion */
if (left < j)
quickSort(arr, left, j);
if (i < right)
quickSort(arr, i, right);
}
java[편집]
public void quickSort(int[] arr, int left, int right) {
int i, j, pivot, tmp;
if (left < right) {
i = left; j = right;
pivot = arr[(left+right)/2];
//분할 과정
while (i < j) {
while (arr[j] > pivot) j--;
// 이 부분에서 arr[j-1]에 접근해서 익셉션 발생가능함.
while (i < j && arr[i] < pivot) i++;
tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
//정렬 과정
quickSort(arr, left, i - 1);
quickSort(arr, i + 1, right);
}
}
비주얼 베이직[편집]
Private Function QR(a() As Long, left As Long, right As Long)
Dim pivot, left_hold, right_hold As Long
left_hold = left
right_hold = right
pivot = a(left)
Do While (left < right)
Do While ((a(right) >= pivot) And (left < right))
right = right - 1
Loop
If left <> right Then
a(left) = a(right)
End If
Do While ((a(left) <= pivot) And (left < right))
left = left + 1
Loop
If left <> right Then
a(right) = a(left)
right = right - 1
End If
Loop
a(left) = pivot
pivot = left
left = left_hold
right = right_hold
If left < pivot Then
Call QR(a(), left, pivot - 1)
End If
If right > pivot Then
Call QR(a(), pivot + 1, right)
End If
End Function
Private Function QS(a() As Long, count As Long)
Call QR(a(), 0, count - 1)
End Function
OCaml[편집]
let rec quicksort = function
| [] -> []
| pivot :: rest ->
let is_less x = x < pivot in
let left, right = List.partition is_less rest in
quicksort left @ [pivot] @ quicksort right
하스켈[편집]
quicksort [] = []
quicksort (p:tl) = quicksort [ x | x <- tl, x <= p ] ++ [p] ++ quicksort [ x | x <- tl, x > p ]
OCaml 과 비교를 쉽게하기 위한 version
quicksort [] = []
quicksort (pivot:rest) =
let left = [x| x <- rest, x <= pivot]
right = [x| x <- rest, x > pivot]
in quicksort left ++ [pivot] ++ quicksort right
파이썬[편집]
1 def quicksort(x):
2 if len(x) <= 1:
3 return x
4
5 pivot = x[len(x) // 2]
6 less = []
7 more = []
8 equal = []
9 for a in x:
10 if a < pivot:
11 less.append(a)
12 elif a > pivot:
13 more.append(a)
14 else:
15 equal.append(a)
16
17 return quicksort(less) + equal + quicksort(more)
파이썬 (Cache 없이)[편집]
1 def partition(arr, start, end):
2 pivot = arr[start]
3 left = start + 1
4 right = end
5 done = False
6 while not done:
7 while left <= right and arr[left] <= pivot:
8 left += 1
9 while left <= right and pivot <= arr[right]:
10 right -= 1
11 if right < left:
12 done = True
13 else:
14 arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
15 arr[start], arr[right] = arr[right], arr[start]
16 return right
17
18
19 def quick_sort(arr, start, end):
20 if start < end:
21 pivot = partition(arr, start, end)
22 quick_sort(arr, start, pivot - 1)
23 quick_sort(arr, pivot + 1, end)
24 return arr
스칼라[편집]
def quickSort(arr:Array[Int]):Array[Int] = {
if (arr.length <= 1) return arr
val pivot = arr(arr.length / 2)
var left, right, equal = Array[Int]()
for (a <- arr) {
if (a < pivot) left = left :+ a
else if (a > pivot) right = right :+ a
else equal = equal :+ a
}
quickSort(left) ++ equal ++ quickSort(right)
}
자바스크립트[편집]
1 /**
2 * 퀵 정렬
3 * 시간 복잡도: 최악 - O(n2), 최선 - O(nlogn), 평균 - O(nlogn)
4 * 공간 복잡도: O(1)
5 * @param {Array} arr
6 * @param {int} left
7 * @param {int} right
8 * @code
9 var arr = [ 4, 5, 1, 2, 11, 8, 3, 1, 2, 5 ];
10 quicksort(arr, 0, arr.length-1);
11 */
12 var quicksort = function(arr, left, right) {
13
14 if (left < right) {
15
16 //기준점을 찾고 기준점을 중심으로 더 작은수, 더 큰수 분류
17 var i = position(arr, left, right);
18 //기준점 기준 좌측 정렬
19 quicksort(arr, left, i - 1);
20 //기준점 기준 우측 정렬
21 quicksort(arr, i + 1, right);
22 }
23
24 return arr;
25 };
26
27 var position = function(arr, left, right) {
28 var i = left;
29 var j = right;
30 var pivot = arr[left];
31
32 //제자리 더 큰수/더 작은 수 좌우 배치.
33 while (i < j) {
34 while (arr[j] > pivot) j--;
35 while (i < j && arr[i] <= pivot) i++;
36
37 tmp = arr[i];
38 arr[i] = arr[j];
39 arr[j] = tmp;
40 }
41 arr[left] = arr[j];
42 arr[j] = pivot;
43
44 return j;
45 }
