콕서터 길이 함수

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군론에서, 콕서터 길이 함수(Coxeter길이函數, 영어: Coxeter length function)는 콕서터 군 위에 정의된 자연수 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다.

정의[편집]

표시가 주어진 콕서터 군

에서, 단순 반사(單純反射, 영어: simple reflection)라고 하자.

위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의하자.

즉, 를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 길이(영어: length)라고 한다.

를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

축소 단어(縮小單語, 영어: reduced word)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

브뤼아 순서[편집]

위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소

의 (임의의) 축소 단어

가 주어졌다고 하자.

부분 순서의 이름 필요 충분 조건
브뤼아 순서(영어: Bruhat order) 이게 하는 단사 증가 함수 가 존재함
오른쪽 약한 순서(영어: right weak order) ,
왼쪽 약한 순서(영어: left weak order) ,

여기서, 정의들은 항상

일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 의 축소 단어 , 가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”

의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

성질[편집]

콕서터 군 에서, 다음이 성립한다.

즉, 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

최장 원소[편집]

유한 콕서터 군 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 최장 원소(最長元素, 영어: longest element)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) 의 최장 원소가 일 때, 이는 다음 성질을 갖는다.

증명:

축소 단어

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 이다.

  • 근계양근의 수이다.
  • 의 임의의 축소 단어에는 의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, 이다.)

[편집]

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

  • (), , , 의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 × 콕서터 도표의 반사 대칭이다.
  • 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 이다.

참고 문헌[편집]