최대 최소 정리

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닫힌구간 에서 연속인 함수 는 최댓값 와 최솟값 를 반드시 갖는다.

해석학에서, 최대 최소 정리(最大最小整理, 영어: extreme value theorem)는 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수는 항상 최댓값최솟값을 갖는다는 정리이다.

서술[편집]

최대 최소 정리에 따르면, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 는 항상 유계 함수이며, 더 나아가, 최댓값최솟값을 갖는다. 즉, 임의의 에 대하여 이게 되는 가 존재한다.

보다 일반적으로, 실숫값 함수 에 대하여, 만약 정의역 콤팩트 공간이며, 연속 함수라면, 유계 함수이며, 또한 최댓값최솟값을 갖는다.

이에 따라, 주어진 연속 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 세울 수 있다. 먼저 주어진 구간에서 함수의 그래프를 그리고, 그 그래프에서 구간의 양 끝 점의 함숫값과 임계점들의 함숫값을 구하여 비교하면 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

역사[편집]

최대 최소 정리는 1830년대에 베르나르트 볼차노가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 1860년에 카를 바이어슈트라스가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.