준자유 전자 모형

응집물질물리학에서 준자유 전자 모형(準自由電子模型, nearly free electron model)은 결정 격자를 자유 전자가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 띠구조를 다루는 모형이다.

전개

준자유 전자 모형은 전자의 위치 에너지 $U(\mathbf {r} )$이 그 운동 에너지 $\mathbf {p} ^{2}/2m$보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 섭동항으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다.

중심 방정식

전자의 파동 함수와 위치 에너지를 다음과 같이 푸리에 변환하여 정의하자.

$\psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }C_{\mathbf {k} }\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$

$U(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }\exp(i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )$.

여기서 $\sum _{\mathbf {G} }$는 모든 역격자 벡터 $\mathbf {G}$에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로

$U_{-\mathbf {G} }=U_{\mathbf {G} }^{*}$

이다. $U_{0}$은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 $U_{0}=0$으로 놓는다.

이 변수로 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$(k^{2}/2m-E_{\mathbf {k} })C_{\mathbf {k} }=\sum _{\mathbf {G} }U_{\mathbf {G} }C_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }.$

여기서 $m$은 전자의 질량이고, $E_{\mathbf {k} }$는 전자의 총 에너지이다. 이를 중심 방정식(central equation)이라고 한다.

섭동 이론

준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, $U_{\mathbf {G} }$가 $k^{2}/2m-E$ 보다 매우 작다고 가정하고 섭동 이론을 사용할 수 있다.

0차 섭동 이론에서는 $U_{\mathbf {G} }=0$을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 분산 관계를 얻는다.

$k^{2}/2m=E_{\mathbf {k} }^{(0)}$.

1차 섭동 이론에서는 $U_{\mathbf {G} }$에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 브래그 평면(역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. 파수 $\mathbf {k}$가 역격자 벡터 $\mathbf {G}$의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉,

$\mathbf {G} \cdot (\mathbf {k} -\mathbf {G} /2)=0$

이라고 하자. 그렇다면

$\mathbf {k} ^{2}=(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}$

이므로, $\mathbf {k}$와 $\mathbf {k} -\mathbf {G}$ 사이에 에너지 겹침이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 $\mathbf {E} ^{(1)}$은 다음 행렬의 고윳값이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 고유벡터이다.

${\begin{pmatrix}0&U_{\mathbf {G} }\\U_{\mathbf {G} }^{*}&0\end{pmatrix}}.$

즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다.

$E^{(1)}=\pm |U_{\mathbf {G} }|.$

따라서 띠틈이 $2|U_{\mathbf {G} }|$임을 알 수 있다.

보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 겹침이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 $\mathbf {G}$, $\mathbf {G} '$이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다.

${\begin{pmatrix}0&U_{\mathbf {G} }&U_{\mathbf {G} '}\\U_{\mathbf {G} }^{*}&0&U_{\mathbf {G} -\mathbf {G} '}^{*}\\U_{\mathbf {G} '}^{*}&U_{\mathbf {G} -\mathbf {G} '}&0\end{pmatrix}}.$

참고 문헌

• Ashcroft, Neil W.; N. David Mermin (1976). 《Solid State Physics》 (영어). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9. 
• Kittel, Charles (1996). 《Introduction to Solid State Physics》 7판. New York: Wiley. ISBN 0-471-11181-3.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Elliott, Stephen (1998). 《The Physics and Chemistry of Solids》. New York: Wiley. ISBN 0-471-98194-X. 

같이 보기

• 자유 전자 모형