이항방정식

이항방정식

이항방정식(二項方程式,a binomial equation)은 이항연산을 대수적 구조로 갖는 방정식을 보여준다.

이항방정식은 n을 양의 정수, A를 양이나 음, 또는 허수라 할 때, $X^{n}-A=0$의 형식으로 바뀌는 방정식이다.

$x^{n}=a\ ,$ 변수항=상수항 또는

$x^{n}=y^{n}\ ,$ 변수항= 변수항의 형태로,

좌변과 우변에 각각 한개의 항을 가진 2항의 방정식 꼴이다.

$x^{n}=y^{n}$는

$a^{2}=b^{2}$

$a^{2}-b^{2}=0\,,$일때

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$의 곱셈공식과인수분해와 관계가 있고,

원에 내접하는 정삼각형의 교점(equilateral triangle&circle)

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$x^{n}=a$ 는

$x^{n}=1$,

$x^{n}-1=0$처럼 n차방정식(3≤n)인 고차방정식의 특수형태이기도 하기에 중요하게 다루어지기도 한다.

복소근

드무아브르의 공식을 통해서, n차방정식의 n개의 근(대수학의 기본 정리)의 계수 ω등에서 주요한 역할을 한다.

$z^{n}=a$을 예약하고,

$z^{3}=1$일때,

$z=\alpha (cosx+isinx),x=\theta ,\alpha =roots$ (근의 계수 들$\;\;\omega ^{n}$)

$z^{3}=(\alpha (cosx+isinx))^{3}=1(cosx+isinx)$

$\alpha ^{3}(cosx+isinx)^{3}=1(cos360^{\circ }+isin360^{\circ })$

$\alpha ^{3}(cos3x+isin3x)=1(cos360^{\circ }+isin360^{\circ })$

$\alpha ^{3}=1$에서 $3x=360^{\circ }+360^{\circ }$

$x=120^{\circ }k_{n}+120^{\circ }k_{n}$ $\qquad ,\;k=\{n-1,n-2,...,n-n\}=2,1,0$

$x=120^{\circ },240^{\circ },0^{\circ }$

$\therefore z=cos120^{\circ }+isin120^{\circ },cos240^{\circ }+isin240^{\circ },cos0^{\circ }+isin0^{\circ }$

$z^{3}=1,roots=-{1 \over 2}+{{\sqrt {3}} \over 2},-{1 \over 2}-{{\sqrt {3}} \over 2},1=\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{3}$

허수

이항방정식의 특수한 경우

$x^{2}=-1$

$x={\sqrt {-1}},$ 이것은 허수이다.

$x=i$

같이 보기

• 3차 방정식
• 복소수
• 1의 거듭제곱근