아이디얼화 부분 모노이드

추상대수학에서, 아이디얼화 부분 모노이드(ideal化部分monoid, 영어: idealizer (submonoid))는 모노이드의 주어진 부분 집합의 원소의 왼쪽 및 오른쪽에 곱하여도 여전히 그 부분 집합에 속하도록 하는 모노이드 원소들로 구성된 부분 모노이드이다.

정의

모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$의 아이디얼화 부분 모노이드 $\operatorname {I} _{M}(S)$는 다음과 같은 부분 집합이다.

$\operatorname {I} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS\cup Sm\subseteq S\}$

이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. 마찬가지로, 다음과 같은 두 부분 집합 역시 부분 모노이드를 이룬다.

$\operatorname {LI} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq S\}$

$\operatorname {RI} _{M}(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq S\}$

물론,

$\operatorname {I} _{M}(S)=\operatorname {LI} _{M}(S)\cap \operatorname {RI} _{M}(S)$

이다.

가환 모노이드의 경우, 물론 왼쪽 · 오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

군

군의 부분 집합의 경우, 일반적으로 $\operatorname {I} _{G}(S)$ 및 $\operatorname {LI} _{G}(S)$ 및 $\operatorname {RI} _{G}(S)$ 가운데 어느 것도 부분군을 이룰 필요는 없으며, 다음이 성립한다.

$\left(\operatorname {LI} _{G}(S)\right)^{-1}=\operatorname {RI} _{G}(S)$

유한군 $G$의 부분 집합 $S\subseteq G$의 경우, 다음이 성립한다.

$\operatorname {I} _{G}(S)=\{g\in G\colon gS=S=Sg\}$

$\operatorname {LI} _{G}(S)=\{g\in G\colon gS=S\}$

$\operatorname {RI} _{G}(S)=\{g\in G\colon Sg=S\}$

이에 따라, 유한군의 경우 이들은 각각 부분군을 이룬다. 즉, 이 경우 $\operatorname {LI} _{G}(S)$와 $\operatorname {RI} _{G}(S)$는 (일종의) $S$의 대칭들을 나타낸다.

환

환 $R$의 부분 덧셈 아벨 군 $A\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 이 경우, $A$의 아이디얼화 부분 모노이드 $\operatorname {I} _{R}(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 양쪽 아이디얼이다. 마찬가지로, $\operatorname {LI} _{R}(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 왼쪽 아이디얼이며, $\operatorname {RI} _{R}(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 오른쪽 아이디얼이다.

만약 $A$가 추가로 $R$의 부분환을 이룬다면 (특히, 1을 포함한다면), $\operatorname {I} _{R}(A)$ 역시 $R$의 부분환을 이룬다.

같이 보기

• 중심화 부분 모노이드
• 정규화 부분군