치환행렬

치환행렬(permutation matrix) 은 순서가 부여된 임의의 행렬을 의도된 다른 순서로 뒤섞는 연산 행렬이다.

일반적으로 치환행렬은 단위행렬로부터 얻을수있는 이진 행렬이다.

반대각행렬은 치환행렬의 특수한 경우이다.

예

치환행렬 $P$ 는 임의의 행렬 $A$ 에 대해서 $P\cdot A$ 의 연산을 통해서 $A$ 행렬의 행 또는 열의 순서를 재배열하게 된다.

3\times 3

I

로부터,

P=I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

를 배열하고,

단위 행렬의 $1$ 행과 $3$ 행을 재배열하면,

I^{a}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}

임의의 행렬 $A$ 에 대해서,

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}

에 대해,

I^{a}A={\begin{bmatrix}g&h&i\\d&e&f\\a&b&c\end{bmatrix}}

3\times 3

I

로부터,

P=I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

를 배열하고,

단위 행렬의 $1$ 행과 $3$ 행을 재배열하고,

I^{a}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}

임의의 행렬 $A$ 에 대해서,

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}

에 대해,

AI^{a}={\begin{bmatrix}c&b&a\\f&e&d\\i&h&g\end{bmatrix}}