사용자:Kjhwddd/라이프니츠의 표기법

dy

dx

d ²y

dx²

독일의 철학자, 수학자이자 미적분학에서 수학적 표기법의 명칭으로 널리 사용되는 고트프리트 빌헬름 폰 라이프니츠(1646–1716)

미적분학에서, 17세기 독일의 철학자이자 수학자인 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따서 지은 라이프니츠의 표기법은 유한한 증분을 나타낼 때 Δx와 Δy를 사용하듯, x와 y의 무한히 작은 증분(무한소)을 나타내는 기호 dx와 dy를 사용한다.

y를 변수 x의 함수, 즉 y = f(x)로 생각하자. 그러면 이후에 다음과 같은 극한으로 간주되는 y의 x에 관한 도함수는

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$

는 라이프니츠에 따르면 y의 무한소 증분과 x의 무한소 증분의 몫, 즉 다음과 같다.

${\frac {dy}{dx}}=f'(x),$

이 때 우변은 f의 x에서의 도함수를 나타내는 조제프루이 라그랑주의 표기법이다.

오랫동안 미적분학의 기반으로 사용되기엔 너무 부정확하다고 여겨진 라이프니츠의 무한소의 개념은 결국 바이어슈트라스와 다른 사람들에 의해 생긴 엄밀한 개념으로 대체되었다. 결과적으로, 라이프니츠의 몫 표기법은 극한의 현대 정의를 나타내기 위해 재해석되었다. 그러나, 많은 예에서, 이 기호는 실제 분수처럼 행동하는 것처럼 보였고 이러한 유용함은 다른 표기법들에 비해 인기를 끌었다. 비표준 미적분학의 현대적 엄밀한 처리에서, 실제 분수를 나타내는 표기법으로 다시 여겨졌다.

역사

무한소 미적분학에 대한 뉴턴-라이프니츠의 접근은 17세기에 소개되었다. 뉴턴은 유율과 유량으로 접근한 반면, 라이프니츠는 합과 차의 일반화로 접근하였다. 라이프니츠는 처음 $\textstyle \int$ 그는 이 기호를 라틴어 summa ("합")를 나타내는데 당시 독일에서 통상적으로 긴 s를 이용하여 사용하던  ſumma 에 기반하여 이 문자를 사용하였다. 차를 합의 역연산으로 간주하며, 그는 기호 d를 이 역연산을 가리키는 라틴어 differentia의 머릿글자에서 따왔다.  라이프니츠는 표기법에 세심하여, 수 년동안 조사하고, 수정하고, 거부하고, 다른 수학자들과 의견을 나누었다.  y의 차이를 나타내는 표기법은 잇따라 ω부터 l,  y/d에서 dy로 정착되었다. 그의 적분 기호는 1686년 6월에 발행된 악타 에루디토룸의 논문 "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (보이지 않는 것과 무한의 숨겨진 기하학과 해석학)에서 처음 등장하였지만, 적어도 1675년 이래 개인 원고에서 써오고 있었다. 라이프니츠는 dx 기호를 역시 악타 에루디토룸에서 1684년 발행된 "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" 에서 처음 사용하였다. 1675년 개인 원고에서 기호 dx/dy가 나타났지만, 이 기호는 위에 언급된 논문들에서 나타나지 않았다. 그러나 라이프니츠는 dy ad dx 와 dy : dx 같은 형태를 논문에서 사용하였다.

영국의 수학자들은 로버트 우드하우스가 유럽 대륙의 표기법에 대한 설명을 발표한 1803년까지 뉴턴의 점 표기법에 방해받았다. 후에 케임브리지 대학교의 해석학 학회는 라이프니츠의 표기법 채택을 장려하였다.

19세기 말, 바이어슈트라스의 추종자들은 말 그대로 도함수와 적분에 대한 라이프니츠의 표기법 사용을 중단하였다. 즉, 수학자들은 무한소 개념의 발달과 과정에서 포함된 논리적 모순을 느꼈다. 19세기 수많은 수학자들 (바이어슈트라스 등)은 무한소 없이 위에서 봤던 극한을 사용해 도함수와 적분을 논리적으로 엄밀한 방법으로 다뤘다. 반면에 코시는 무한소와 극한을 모두 이용하였다. (Cours d'Analyse를 보아라.). 그럼에도 불구하고, 라이프니츠의 표기법은 여전히 일반적으로 사용된다. 비록 표기법이 문자 그대로 사용될 필요는 없지만, 이는 미분방정식 풀이에 이용되는 변수분리법을 사용할 때 다른 것들보다 대개 간단하다. 예로 f(x)를 초당 미터, dx를 초로 생각하여,f(x) dx 를 미터로 생각할 수 있으며, 이 값을 정적분으로 생각할 수 있다. 라이프니츠의 이런 방식은 차원 해석학과 조화를 이룬다.

미분에 대한 라이프니츠의 표기법

종속변수 y를 함수 독립변수 x에 대한 함수 f로 간주하자.  즉,

$y=f(x).$

그러면 미분에 대한 라이프니츠의 표기법에서  f의 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.$

때때로  dy/dx로 나타나는 라이프니츠의 표현은 도함수를 나타내는 여러 표기법 중 하나이다. 보통 사용되는 대체 표기법은 라그랑주의 표기법이다.

${\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).$

또다른 대체 표기법은 종종 시간에 대한 도함수(속도 같은)에 사용된 뉴턴의 표기법인데, 이는 종속 변수 (이 경우에는 x)에 점을 찍는 것이다.

${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.$

라그랑주의 "프라임" 표기법은 도함수를 논하는데 특히 유용하고 특정 값에서의 도함수의 값을 언급하는데 자연스러운 방식을 갖는다는 이점이 있다. 그러나, 라이프니츠의 표기법은 오랫동안 인기 있던 표기법이라는 장점이 있다.

현대의 관점에서 dy/dx는 라이프니츠가 바랐던 것처럼 dx와 dy의 나눗셈으로 읽어서는 안된다. 그보단, 다음을 간단하게 나타내는 단일 기호로 여겨져야 한다.

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

(Δ와 d의 차이를 비교하라. Δ는 유한한 차이를 의미한다).

이 표현은 또한 x의 함수 y에 대한 미분 연산자 d/dx의 적용으로 생각될 수 있다. (역시, 단일 기호) 오일러의 표기법에서 이 연산자는 D로 쓴다. 라이프니츠는 이러한 형식으로 사용하지 않았지만, 그의 d 기호의 사용은 현대의 개념과 꽤 가깝다.

이 표기법에는 나눗셈의 의미는 없지만, 나눗셈 같은 표기법은 많은 상황에서 유용한데, 도함수에 대한 몇몇 결과를 쉽게 얻고 기억하는데 미분연산자가 분수처럼 행동하기 때문이다. 이 표기법은 오래 되었다는 사실 덕분에 미적분학의 기하, 공학 응용의 매우 중심부에 닿았다. 

Notes

[[분류:미분학]] [[분류:고트프리트 빌헬름 라이프니츠]] [[분류:수학 표기법]]