브라마굽타의 정리

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기하학에서 브라마굽타의 정리는 다음과 같다.

"원에 내접하는 사각형에서 수직 대각선을 가지고 있으면, 그 대각선의 교점에서 한변에 내린 수선은 대변을 이등분 한다." 브라마굽타의 정리는 이러한 관계를 처음 발견 증명한 것으로 알려져 있는 인도의 수학자 브라마굽타의 이름을 따서 명명되었다.

구체적으로 살펴보면 원위의 네 점 A, B, C, D가 사각형을 이루고 대각선 AC와 BD가 수직일때, 교점을 O이라 하면, O으로 부터 BC에 수선을 내려 변BC와 만나는점을 E라하고, 변EO을 연장하여 변AD와 만나는 점을 F라하면 F는 변AD의 중점이다.

증명[편집]

AF=FD임을 보이면 됨으로 그 둘이 FO과 같다는 것을 증명한다. 먼저 각FAO 과 CBO이 동일한 호CD를 가지므로 서로 같다. 또한, 각 CBO는 각COE서로 같으므로(각BCO과 합치면 90도), 각COE와 FOA는 같다. 따라서 삼각형AFO은 이등변 삼각형이고 그 결과 AF는 FO과 같다. 마찬가지로 각FDO, BCO, BOE, DOF가 서로 같아 삼각형DOF가 이등변 삼각형이 되어, FD=FO이므로 결과적으로 AF=FD가 된다.