분기 (동역학계)

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분기의 예. 매개변수 \alpha가 변화하면서 임계값 \alpha=0에 다다르면 동역학계의 궤적의 모양이 크게 변화한다. \alpha<0인 경우 평형점이 없지만, \alpha>0인 경우 두 개의 평형점이 존재한다.

동역학계 이론에서, 분기(分岐, 영어: bifurcation)는 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 분기 이론(分岐理論, 영어: bifurcation theory)이라고 한다.

정의[편집]

분기(分岐, 영어: bifurcation)는 국소적 분기(영어: local bifurcation)와 대역적 분기(영어: global bifurcation)가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.

국소적 분기[편집]

어떤 n차원 리만 다양체 M 위에, 매개변수 \lambda\in\mathbb R에 의존하는 연속 시간 동역학계

f\colon \mathbb R\times M\to TM
\dot x^\mu=f^\mu(\lambda,x)

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계의 고정점f^\mu(\lambda,x)=0이 되는 (\mu,x)\in\mathbb R\times M이다. 각 고정점 (\lambda,x)\in\mathbb R\times M에서 야코비 행렬

\nabla_\mu f^\nu|_{\lambda,x}\colon T_xM\to T_xM

을 정의할 수 있다. 이를 n\times n 실수 행렬로 간주할 때, 만약 \nabla_\mu f^\nu|_{\lambda,x}가 실수 성분이 0인 복소수 고윳값을 갖는다면, 동역학계 \dot x^\mu=f^\mu(\lambda,x)(\lambda,x)에서 분기한다고 한다.[1]:996, §II.A.3 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.

  • 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
  • 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점극한 주기 궤도로 변화하게 된다.

이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계

f\colon\mathbb R\times M\to M
x\mapsto f(\lambda,x)

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계에서 고정점f(\lambda,x)=x가 되는 (\mu,x)\in\mathbb R\times M이다. 각 고정점 (\lambda_0,x_0)\in\mathbb R\times X에 대하여, 야코비 행렬

(df)^\mu_\nu|_{(\lambda,x)}\colon T_xM\to T_{f(\lambda,x)}M

을 정의할 수 있다. 이를 n\times n 실수 행렬로 간주할 때, 만약 df|_{(\lambda,x)}가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, f(\lambda,x)에서 분기한다고 한다.[1]:998, §II.B.2 이 경우, 다음과 같이 세 가지 경우가 가능하다.

  • 만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
  • 만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이 \exp(\pm i\theta)이라면 (\theta\ne0,\pi), 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다.
  • 만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 주기 2배화 분기(週期二倍化分岐, 영어: period-doubling bifurcation)라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.

대역적 분기[편집]

대역적 분기(영어: global bifurcation)는 주기 궤도(영어: periodic orbit)나 극한 주기 궤도, 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Crawford, John David (1991년 10월 1일). “Introduction to bifurcation theory” (PDF). 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 63: 991. doi:10.1103/RevModPhys.63.991. 

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같이 보기[편집]