별난 4차원 유클리드 다양체

수학에서 별난 $\mathbb {R} ^{4}$는 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{4}$와 위상동형이지만 미분동형이 아닌 미분 가능 다양체이다. 첫 번째 예는 1982년 마이클 프리드먼과 다른 사람들이 위상 4-다양체에 대한 프리드먼의 정리와 매끄러운 4-다양체에 대한 사이먼 도널드슨의 정리 사이의 대조를 사용하여 발견되었다. $\mathbb {R} ^{4}$에 부여 할 수 있는 서로 미분동형이 아닌 미분구조들이 이루는 연속체가 있다. 이는 클리포드 타우베스가 처음으로 증명했다.

이 구성에 앞서 4차원 구에 대한 미분동형이 아닌 매끄러운 구조 – 별난 구 – 는 이미 존재하는 것으로 알려져 있지만 특정 사례에 대한 그러한 구조의 존재에 대한 질문은 여전히 미해결이다(2023년 현재 미해결). 4 이외의 모든 양의 정수 n에 대해 $\mathbb {R} ^{n}$은 유일한 미분 구조를 가진다.

작은 별난 R⁴

별난 $\mathbb {R} ^{4}$가 표준 $\mathbb {R} ^{4}$의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 있으면 작다고 한다.

작은 별난 $\mathbb {R} ^{4}$ 자명하지 않은 매끄러운 5차원 h - 보충경계( h -보충경계 정리가 4차원에서 실패한다는 도널드슨의 증명에 의해 존재함)에서 시작하고 위상수학적 h -보충경계 정리가 이 차원에서 유지하는 프리드먼의 정리를 사용하여 구성할 수 있다.

큰 별난 R⁴

별난 $\mathbb {R} ^{4}$가 표준 $\mathbb {R} ^{4}$의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 없는 경우 크다고 한다.

큰 별난 $\mathbb {R} ^{4}$ 예들은 콤팩트 4-다양체 종종 위상수학적 합(프리드먼의 작업에 의해)으로 분할될 수 있지만 매끄러운 합(도널드슨의 작업에 의해)으로 분할될 수 없다는 사실을 사용하여 구성할 수 있다.

마이클 하틀리 프리드먼과 로렌스 R. 테일러(1986)는 극대 별난 $\mathbb {R} ^{4}$가 있다는 것을 보여주었다. 다른 모든 $\mathbb {R} ^{4}$가 극대 별난 $\mathbb {R} ^{4}$의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장된다.

관련 별난 구조

카슨 손잡이들은 프리드먼 정리(여기서 $\mathbb {D} ^{2}$는 닫힌 단위 원판)에 따라 $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$와 위상동형이다. 그러나 도널드슨의 정리에 따라 모두 $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$와 미분동형이 아니다. 즉, 일부 카슨 손잡이는 별난 $\mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.$

(2022년 현재) 별난 4차원 구가 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 그러한 별난 4차원 구는 4차원에서 매끄럽게 일반화된 푸앵카레 추측에 대한 반례가 된다. 일부 그럴듯한 후보는 글럭 비틀림으로 제공된다.

같이 보기

• Akbulut cork - $H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )$에서 별난 $\mathbb {R} ^{4}$를 구성하는 데 사용된다.
• 지도책(위상수학)

참고 문헌

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