베르누이의 렘니스케이트

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베르누이의 렘니스케이트

기하학에서, 베르누이의 렘니스케이트(영어: lemniscate of Bernoulli)는 거리가 2a인 두 초점F1 , F2가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 P에 대해 PF1·PF2 = a2을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 와 유사하며 그 이름은 라틴어: lemniscus 렘니스쿠스[*]에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 카시니의 난형선의 특수한 경우이며 유리곡선이자 4차 대수 곡선이다.

  • 극좌표상에서는 :
  • 매개변수방정식으로는 :

렘니스케이트는 타원의 변형으로서 1694년 야코프 베르누이에 의해 처음 고안되었다. 타원은 두 초점으로부터 거리의 이 일정한 곡선이다. 반면에, 카시니의 난형선은 두 초점으로부터 거리의 이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.

렘니스케이트는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 반전형으로도 얻을 수 있다.

다른 방정식 표현들[편집]

렘니스케이트는 아래의 극좌표 방정식으로도 표현이 가능하다.

또는 아래의 쌍극좌표계 방정식으로도 표현된다.

미분[편집]

에 대한 의 함수로서[편집]

에 대한 의 함수로서[편집]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • J. Dennis Lawrence (1972). 《A catalog of special plane curves》. Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5. 

바깥 고리[편집]