모멘트생성함수

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확률론통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X모멘트생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

,

t = 0 근처에서 모멘트생성함수가 존재한다고 가정할 때 모멘트생성함수를 이용하면 확률분포모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

계산[편집]

X확률밀도함수이면 모멘트생성함수는 다음과 같이 구한다.

이때 i번째 모멘트이며 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F누적분포함수이면 모멘트생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

n개의 확률변수 가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 에 대해서 의 확률분포는 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 모멘트생성함수는 다음과 같다.

같이 보기[편집]

  • 누적생성함수(cumulant-generating function)은 모멘트생성함수에 로그를 취한 함수이다..