확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기댓값이 존재한다면 X의 적률생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.
, ![{\displaystyle \quad t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bab0c385fc0bf229e2cbf85964830cfb7025af)
t = 0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.
![{\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}M_{X}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba82a50e8a12c37d2384bf49e2e521c7091a628)
X의 확률밀도함수가
이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24dca39e89ba85cb83cccafe0866c341ec8ff20c)
![{\displaystyle =1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d272d3026668ba4db72c7d41e4f1fc8392e243a8)
이때
는 i번째 모멘트이며
는
의 양측라플라스변환이다.
확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 적률생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.
![{\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c01f220becd870d525aad5dd549b0ed9a33796)
n개의 확률변수
가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수
에 대해서
의 확률분포는
각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\ldots M_{X_{n}}(a_{n}t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c89206ace480733d64080dd336255c54fb50a4)
다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.
분포
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모멘트생성함수
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특성함수
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이항 분포 B(n, p)
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푸아송 분포 Pois(λ)
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연속균등분포 U(a, b)
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정규분포 N(μ, σ2)
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카이제곱 분포 χ2k
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감마 분포 Γ(k, θ)
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지수분포 Exp(λ)
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다변량 정규분포 N(μ, Σ)
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퇴화분포 δa
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라플라스 분포 L(μ, b)
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코시 분포 Cauchy(μ, θ)
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정의되지 않음
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음이항 분포 NB(r, p)
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같이 보기[편집]
- 누적생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.