레일리 분포

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레일리 분포
확률 밀도 함수
Plot of the Rayleigh PDF
누적 분포 함수
Plot of the Rayleigh CDF
매개변수 \sigma>0\,
지지집합 x\in [0;\infty)
확률 밀도 \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}
누적 분포 1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)
기댓값 \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
중앙값 \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
최빈값 \sigma\,
분산 \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
비대칭도 \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
첨도 -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
엔트로피 1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}
모멘트생성함수 1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 확률론통계학에서 연속 확률 분포의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 정규 분포일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 벡터의 두 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 복소수가 있다면, 복소수의 절댓값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}

\textrm{erfi}(z)\ 가 복소오차 함수라고 할 때, 특성 함수는 다음과 같다.

\varphi(t)=
1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

\textrm{erf}(z)\ 오차 함수일 때, 모멘트생성 함수는 다음과 같다.

M(t)=\,
1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

\Gamma(z)감마 함수일 때, 원적률은 다음과 같다.

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

모멘트를 이용하면 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 구할 수 있다.

모수 추정[편집]

\sigma 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

다른 확률 분포[편집]

같이 보기[편집]