강압 쌍선형 형식

함수해석학에서 강제 쌍선형 형식(強壓雙線型形式, 영어: coercive bilinear form)은 그 대각 성분들이 양의 하한을 갖는, 실수 힐베르트 공간 위의 유계 쌍선형 형식이다.

정의

실수 힐베르트 공간 $V$ 위의 연속 쌍선형 형식

$B\colon V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R}$

가 다음 조건들을 만족시킨다면 강제 쌍선형 형식이라고 한다.

$\inf _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {B(v,v)}{\|v\|^{2}}}>0$

(일반적으로 노름 공간 $V\otimes _{\mathbb {R} }V$는 완비 거리 공간이 아니어서 힐베르트 공간이 아닐 수 있다.)

여기서, 두 노름 공간 사이의 선형 변환의 경우 연속성은 유계 작용소인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다.

$\sup _{u,v\in V\setminus \{0\}}{\frac {B(u,v)}{\|u\|\|v\|}}<\infty$

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 힐베르트 공간 $V$
• 강제 연속 쌍선형 형식 $B\colon V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R}$

럭스-밀그램 정리(Lax-Milgram定理, 영어: Lax–Milgram theorem)에 따르면, 임의의 $v,w\in V$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $u\in V$가 유일하게 존재한다.^{:Theorem 6.2.1, 317–319}

$B(u,v)=\langle w,v\rangle$

또한, 다음이 성립한다.

$\|u\|\leq {\frac {\|w\|}{\inf _{v\in V\setminus \{0\}}B(v,v)/\|v\|^{2}}}$

증명:

리스 표현 정리에 따른 표준적인 동형

$\iota \colon V'\to V$

$\iota \colon \langle v,-\rangle \mapsto v$

를 생각하자. (여기서 $V'$은 $V$의 연속 쌍대 공간이다.)

임의의 $a\in V$에 대하여,

$B(a,-)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$

는 유계 작용소이다. 따라서

$\iota (B(a,-))\in V$

를 정의할 수 있다. 이는 함수

$A\colon V\to V$

$A\colon a\mapsto \iota (B(a,-))$

를 정의한다. 이는 실수 선형 변환임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한

$\forall v\in V\colon \|Av\|^{2}=\langle Av,Av\rangle =B(v,Av)\leq \|B\|\|v\|\|Av\|$

이므로

$\|A\|\leq \|B\|$

이며, $A$ 역시 유계 작용소이다. (여기서 $\|B\|$는 $V\otimes _{\mathbb {R} }V\to \mathbb {R}$ 작용소 노름이다.)

또한,임의의 $v\in V$에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 $C>0$에 대하여

$C\|v\|^{2}\leq B(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$

이므로, 특히

$C\|v\|\leq \|Av\|$

이다. 이에 따라 $\ker A=\{0\}$이며, $A$는 단사 함수이며, 또한 $A$의 치역은 닫힌집합이다.

이제, $A$가 전사 함수임을 보이면 족하다. $A$의 치역이 닫힌집합이므로, 임의의 $(AV)^{\perp }=\{0\}$임을 보이면 족하다. 임의의 $a\in (AV)^{\perp }$에 대하여,

$C\|a\|^{2}\leq B(a,a)=\langle Aa,a\rangle =0$

이므로 $a=0$이다.

역사

럭스-밀그램 정리는 럭스 페테르와 아서 노턴 밀그램(영어: Arthur Norton Milgram, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다.

외부 링크

• “Coerciveness inequality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lax-Milgram lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Babuska-Lax-Milgram theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Coercive functional”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lax-Milgram theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stover, Christopher. “Stampacchia theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.