닫힌 그래프 정리

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함수해석학에서, 닫힌 그래프 정리(닫힌graph定理, 영어: closed graph theorem)는 두 바나흐 공간 사이의 선형 변환에 대하여, 연속성과 그 그래프의 닫힘이 서로 동치라는 정리다.

위상수학에서의 닫힌 그래프 정리[편집]

집합 , 사이의 함수 그래프

이다.

닫힌 그래프 정리에 따르면, 위상 공간 하우스도르프 공간 사이의 연속 함수 에 대하여, 닫힌 집합이다.

증명[편집]

연속 함수라고 하자. 임의의 점

에 포함되는 근방을 갖는다는 것을 보이면 족하다. 정의에 따라, 이다. 하우스도르프 공간이므로, 를 포함하는 서로소 열린 근방 , 가 존재한다. 가 연속 함수이므로, 를 포함하는 근방이다.

함수해석학에서의 닫힌 그래프 정리[편집]

(바나흐 공간에서의) 닫힌 그래프 정리에 따르면, 두 바나흐 공간 사이의 선형 변환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

증명[편집]

연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다.

반대로, 닫힌 집합이라 가정하자. 사영 함수

는 정의에 따라 연속 함수이다. 또한, 노름로 주면 역시 바나흐 공간이 되며, 바나흐 공간의 닫힌 부분 벡터 공간 역시 바나흐 공간이므로 역시 바나흐 공간이다. 전단사 함수이므로, 열린 사상 정리에 의하여 역함수 역시 연속 함수이다. 따라서

역시 연속이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill.

바깥 고리[편집]