단면 범주

단면 범주(sectional category) 또는 시바르츠 종수(род Шварца)는 올다발의 자연수 값 불변량이다.

정의

$F$를 올공간으로 하는 올다발 $\pi \colon E\to B$에 대해서 다음을 만족시키는 최소의 자연수 k를 단면 범주 $\operatorname {secat} (\pi )$로 정의한다:

$B$를 덮는 $(k+1)$ 개의 열린 덮개 $(U_{i})_{0\leq i\leq k}$가 존재해서 각각의 덮개에 대해 $\pi ^{-1}(U_{i})\simeq U_{i}\times F$를 만족한다.

만약 위 조건을 만족시키는 자연수 k가 없다면 $\operatorname {secat} (\pi )=\infty$로 표기한다.

성질

위의 정의에서 $E$가 한원소 공간일 경우 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주와 같다. 다시 말해, 올다발 $\pi \colon \{*\}\to B$에 대해 $\operatorname {secat} (\pi )=\operatorname {cat} (B)$이다. 그러므로 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주의 일반화라 할 수 있다.

위상 복잡도

단면 범주를 통해 위상 복잡도(topological complexity)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

위상공간 $X$가 주어졌을 때, 그 경로 공간 ${\mathcal {P}}X=\{\gamma :[0,1]\to X\}$를 만들고 사영 사상 $\pi \colon {\mathcal {P}}X\to X\times X$를 $\pi (\gamma ):=(\gamma (0),\gamma (1))$로 정의한다. 이 때 $X$의 위상 복잡도 $\operatorname {TC} (X)$를 $\pi$의 단면 범주로 정의한다.

$\operatorname {TC} (X):=\operatorname {secat} (\pi )$

역사

1960년 알베르트 시바르츠가 ‘종수(род)’라는 이름으로 발표했다. 이후 1978년 요안 제임스가 시바르츠를 인용하면서 이 불변량과 류스테르니크-시니렐만 범주와의 상관관계를 밝히고 ‘단면 범주(sectional category)’라는 말을 썼다.