류스테르니크-시니렐만 범주

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대수적 위상수학에서, 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, 영어: Lusternik–Schnirelmann category) 또는 LS 범주(LS-category)는 자연수 값으로 된 위상 공간의 호모토피 불변량이다.[1][2] 구체적으로는 주어진 위상 공간 위에 존재할 수 있는, 그 속에서 축약 가능인 집합들로 구성된 열린 덮개의 최소의 개수를 나타낸다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

정의[편집]

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 (CW 복합체호모토피 동치인 위상 공간에 대하여) 서로 동치이다.

열린 덮개를 통한 정의[편집]

점을 가진 공간 가 주어졌으며, CW 복합체호모토피 동치이며, 쌍대올뭉치라고 하자.

류스테르니크-시니렐만 범주 를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 로 정의한다.

  • 어떤 점을 가진 열린 덮개 에 대하여, 모든 포함 함수 상수 함수호모토피 동치하다.

만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, 로 놓는다.

(일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 위의 정의 + 1로 정의한다.)

화이트헤드의 정의[편집]

영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.

육면체 공리(영어: cube axiom): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림
Hasse diagram of powerset of 3.png
에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 이다.

(육면체 공리는 점을 가진 공간모형 범주 의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 부케가르니(프랑스어: bouquet garni) 또는 뚱뚱한 쐐기합(영어: fat wedge) 은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.

  • 이다.
  • 이 주어졌을 때, 모형 범주 에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 이다.

특히, 다음이 성립한다.

(스스로와의 쌍대곱)

점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

즉, 이는 곱공간 에서, 적어도 한 좌표가 밑점 이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 가 존재하는 최소의 자연수 이다.

여기서 대각 사상이다.

가네아의 정의[편집]

영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상 에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

여기서

  • 이다.
  • 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, 올뭉치 의 호모토피 올이다.)
  • 다음과 같은 네모들은 모형 범주 에서의 호모토피 이다.

이를 가네아 올뭉치(영어: Ganea fibrations)라고 한다. 이제, 류스테르니크-시니렐만 범주

호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) 을 가질 수 있는 최소의 자연수 이다.

점을 가진 공간의 범주에서, 경로 공간 으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 이다. 이 경우

으로 잡을 수 있다.[3] (여기서 는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우

로 잡을 수 있다. 여기서 축소 현수이다.

정의 사이의 관계[편집]

영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다.[4] 또한 그 범주가 일 경우, CW 복합체호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

성질[편집]

류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

연산에 대한 호환[편집]

다음이 성립한다. (여기서 점을 가진 공간쐐기합이다.)

[1]:14, Proposition 1.27(2), §1.4
[1]:18, Theorem 1.37, §1.5

만약 사상 가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, 이다.[1]:15, Lemma 1.29, §1.4

올뭉치

에 대하여,

이다.[1]:19, Theorem 1.41, §1.5

임의의 점을 가진 공간 의, 크기 2의 열린 덮개

가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

[1]:14, Proposition 1.27(1), §1.4

차원과의 관계[편집]

위상 공간 -연결 공간이라고 하자. 즉,

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

모스 이론과의 관계[편집]

연결 콤팩트 매끄러운 다양체 위의 연속 미분 가능 함수 임계점의 집합

크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.[1]:Theorem 1.15

증명 개략:[5]

일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, 의 기울기 흐름

을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 에 대하여

를 정의하자. 이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 은 모두 상수 함수 호모토피 동치이다.

이제, 각 에 대하여, 이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.[5]:Proposition 2.5(ⅰ) 즉, 는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 유클리드 공간 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.

코호몰로지 길이와의 관계[편집]

일반적으로, 위상 공간 의, 개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.

그렇다면,

이다.

유리수 류스테르니크-시니렐만 범주[편집]

유리수체 위의 가환 미분 등급 대수모형 범주 를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 의 류스테르니크-시니렐만 범주를

라고 표기하자. 이는 사실 와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.[6]:§2.3 특히, 다음이 항상 성립한다.

또한, 만약 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[6]:Theorem 2.19

[편집]

점을 가진 공간 류스테르니크-시니렐만 범주
축약 가능 공간[1]:3, Example 1.6(1) 0
초구[1]:3, Example 1.6(2) , 1
축약 불가능현수 [1]:Example 1.6(2) 1
원환면[1]:4, Example 1.8(1)
실수 사영 공간[1]:4, Example 1.8(2)
복소수 사영 공간[1]:16, Example 1.33
종수 가향 콤팩트 곡면
콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 [1]:44, Exercise 1.20
[1]:19, Example 1.38 3

콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 에 대하여 의 증명:[1]:44, Exercise 1.20

심플렉틱 형식 드람 코호몰로지

를 생각하자. 그렇다면,

이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 의 코호몰로지 길이는 이상이며,

이다. 반면, 단일 연결 공간이므로 이다.

역사[편집]

라자리 류스테르니크레프 시니렐만이 도입하였다.[7][8] 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(catégorie, категорий)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어: George William Whitehead Jr., 1918〜2004)가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아(루마니아어: Tudor Ganea, 1922〜1971)가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(일본어: 岩瀬 則夫 (いわせ のりお))가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.[9]

참고 문헌[편집]

  1. Cornea, Octav; Lupton, Gregory; Oprea, John; Tanré, Daniel (2003). 《Lusternik-Schnirelmann category》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 103. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/103. ISBN 978-0-8218-3404-6. MR 1990857. 
  2. James, I. M. (1978). “On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann”. 《Topology》 (영어) 17 (4): 331–348. doi:10.1016/0040-9383(78)90002-2. 
  3. Ganea, Tudor (1965). “A generalization of the homology and homotopy suspension”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (영어) 39. doi:10.1007/BF02566956. MR 0179791. 
  4. Doeraene, Jean-Paul; El Haouari, Mohammed (2006년 3월). “The Ganea and Whitehead variants of the Lusternik–Schnirelmann Category”. 《Canadian Mathematical Bulletin》 (영어) 49 (1): 41–54. doi:10.4153/CMB-2006-005-4. ISSN 0008-4395. 
  5. Weber, Joa (2017). “Conley pairs in geometry — Lusternik–Schnirelmann theory and more” (영어). arXiv:1709.05010. Bibcode:v. 
  6. Hess, Kathryn (2006). “Rational homotopy theory: a brief introduction” (영어). arXiv:math/0604626. Bibcode:2006math......4626H. 
  7. Lusternik, L. (1931). 〈Sur quelques méthodes topologiques dans la géométrie différentielle〉. 《Atti del IV Congresso internazionale dei matematici (Bologna, 1928)》 (PDF) (프랑스어) 4. N. Zanichelli. 291–296쪽. JFM 57.0729.01. 
  8. Люстерник, Лазарь Аронович; Шнирельман, Лев Генрихович (1947). “Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей” (PDF). 《Успехи математических наук》 (러시아어) 2 (1): 166–217. MR 29532. 
  9. Iwase, Norio (1998). “Ganea’s conjecture on Lusternik–Schnirelmann category”. 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 30 (6): 623–634. doi:10.1112/S0024609398004548. MR 1642747. 

외부 링크[편집]