정수론 에서 니븐 상수 (Niven constant)는 이반 니븐 (Ivan Niven)의 이름을 따서 이름붙여진 수학 상수 이다.
양의 정수 n에 대하여,
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
을 n의 소인수분해 에 나타나는 가장 큰 지수를 나타내는 수론적 함수 로 정의하자. 또한
H
(
1
)
=
1
{\displaystyle H(1)=1}
로 정의하자. 이
H
(
n
)
{\displaystyle H(n)}
함수에 대해, 니븐 상수는 다음과 같이 정의된다:
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
H
(
k
)
=
1
+
∑
k
=
2
∞
(
1
−
1
ζ
(
k
)
)
=
1.705211
…
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{1} \over {n}}\sum _{k=1}^{n}H(k)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{{1} \over {\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots }
여기서
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
는 리만 제타 함수 이다(Niven, 1969).
같은 논문에서, 니븐은
∑
j
=
1
n
h
(
j
)
=
n
+
c
n
+
o
(
n
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})}
임도 보였다. 여기서
h
(
n
)
{\displaystyle h(n)}
은 양의 정수 n의 소인수분해에 나타나는 가장 작은 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의되며,
h
(
1
)
=
1
{\displaystyle h(1)=1}
이다. 또한,
o
{\displaystyle o}
는 작은 o 표기법 을 나타내며 상수
c
{\displaystyle c}
의 값은
c
=
ζ
(
3
2
)
ζ
(
3
)
{\displaystyle c={{\zeta \left({{3} \over {2}}\right)} \over {\zeta (3)}}}
이다. 니븐의 식으로부터,
lim
n
→
∞
1
n
∑
j
=
1
n
h
(
j
)
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{1} \over {n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1}
을 얻을 수 있다.
리만 제타 함수의 특수 값 [ 편집 ]
ζ
(
−
1
)
=
−
1
12
{\displaystyle \zeta ({-1})=-{1 \over 12}}
ζ
(
0
)
=
−
1
2
{\displaystyle \zeta ({0})=-{1 \over 2}}
ζ
(
1
2
)
≈
−
1.4603545....
(
O
E
I
S
A
059750
)
{\displaystyle \zeta \left({{1} \over {2}}\right)\approx -1.4603545....(OEISA059750)}
ζ
(
1
)
=
1
+
1
2
+
1
3
+
.
.
.
.
=
∞
{\displaystyle \zeta (1)=1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+....=\infty }
ζ
(
3
2
)
≈
2.612....
(
O
E
I
S
A
078434
)
{\displaystyle \zeta \left({{3} \over {2}}\right)\approx 2.612....(OEISA078434)}
ζ
(
2
)
=
π
2
6
=
1.645....
(
O
E
I
S
A
013661
)
{\displaystyle \zeta ({2})={\pi ^{2} \over {6}}=1.645....(OEISA013661)}
ζ
(
3
)
=
1.202....
(
O
E
I
S
A
002117
)
{\displaystyle \zeta ({3})=1.202....(OEISA002117)}
같이 보기 [ 편집 ]
Niven, Ivan M. (August 1969). “Averages of Exponents in Factoring Integers”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 22 (2): 356–360. doi :10.2307/2037055 . JSTOR 2037055 .
Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications ), Cambridge University Press, 2003