끈의 진동

진동, 끈의 정상파, 배음렬중 기본적인 6가지의 배음

끈의 진동은 파동의 한 형태이다. 일정하게 진동하는 끈은 소리를 만든다. 특정 음의 진동으로부터 소리는 일정한 음을 만든다. 진동하는 끈은 기타, 피아노, 가야금등과 같은 현악기가 소리를 내는 근본적인 원리이다.

파동

끈에 의한 파동의 전파 속력($v$)는 아래 식과 같이 나타내어 지며, 전파속도는 끈의 장력($T$)의 제곱근에 비례하고 끈의 선형밀도($\mu$)의 제곱근에 반비례한다.

$v={\sqrt {T \over \mu }}.$

유도

Illustration for a vibrating string

끈의 한지점 x으로부터 작은 $\Delta x$의 간격을 잡고, $m$을 질량, $\mu$를 선형밀도라고 하자. 끈의 수평축 장력이 $T$(상수)로서 일정하다고 가정하면, 각 양끝 $x$와 $x$+$\Delta x$ 가해지는 장력은 아래와 같이 $T$로서 근사할 수 있다.

$T_{1x}=T_{1}\cos(\alpha )\approx T.$

$T_{2x}=T_{2}\cos(\beta )\approx T.$

각 양 끝의 끈이 수평축과 이루는 각 $\alpha$와 $\beta$가 매우 작다고 생각 하면 수평축의 알짜힘은 0이되어 상쇄된다. 따라서 수직방향의 힘은 전체 알짜힘의 크기와 같음으로 아래와 같이 y에 대한 편미분으로서 표현 할 수 있다.

$\Sigma F_{y}=T_{2y}-T_{1y}=T_{2}\sin(\beta )-T_{1}\sin(\alpha )=\Delta ma\approx \mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

양변을 장력$T$으로 나누어 주고 처음에 구했던 $T$관한 식을 이용하여 대입하여 주면 아래와 같다.

${\frac {\mu \Delta x}{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T_{2}\sin(\beta )}{T_{2}\cos(\beta )}}-{\frac {T_{1}\sin(\alpha )}{T_{1}\cos(\alpha )}}=\tan(\beta )-\tan(\alpha )$

각 양끝의 $a$와 $b$에 대한 탄젠트값이 양끝값의 기울기와 같다는 것을 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\frac {1}{\Delta x}}\left(\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x+\Delta x}-\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|^{x}\right)={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

여기서 처음에 $\Delta x$가 매우 작다고 가정하였음으로 0에 대하여 극한을 취하면 미분의 정의에 의해 $y$의 미분값의 미분 즉 $y$ 에 대한 이계미분이 된다.

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\mu }{T}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}.$

이 식은$y(x,t)$에 대한 파동방정식과 일치한다. 파동방정식에서 시간에 대한 이계미분의 항은 $v^{-2}$와 같다 따라서,

$v={\sqrt {T \over \mu }},$

$v$는 끈에 의한 파동의 전파 속력이다. 하지만, 이 유도는 오직 작은 진폭으로 진동할 때만 유효하다. 큰진폭의 경우에는, $\Delta x$ 은 좋은 근사식이 될 수 없다. 수평축의 장력은 상수$T$로서 일정할 필요가 없다.

같이 보기

• 현악기
• 음향학
• 원형 드럼의 진동

참고 문헌

• Java simulation of waves on a string
• Physics of a harpsichord string
• A study of chaotic motion in strings
• A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신
• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.

외부 링크

• Java simulation of waves on a string
• Physics of a harpsichord string
• A study of chaotic motion in strings
• A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신
• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project