무변 그래프

6개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프 ${\bar {K}}_{6}$

그래프 이론에서 무변 그래프(無邊graph, 영어: edgeless graph)는 꼭짓점을 가질 수 있지만, 변을 가지지 않는 그래프이다.

정의

그래프 $\Gamma$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그래프를 무변 그래프라고 한다.

• $\operatorname {E} (\Gamma )=\varnothing$이다. 즉, 변을 갖지 않는다.
• $\Gamma$의 (CW 복합체로서의) 위상은 이산 공간이다.
• $\Gamma$의 변 색칠수는 0이다.
• $\Gamma$의 여 그래프는 완전 그래프이다.
• 모든 경로의 길이는 0이다.
• 모든 연결 성분은 하나의 꼭짓점을 갖는다.
• 0-정규 그래프이다.

꼭짓점이 $n$개인 무변 그래프는 완전 그래프 $K_{n}$의 여 그래프이므로, ${\bar {K}}_{n}$으로 표기될 수 있다.

특히, 꼭짓점이 0개인 무변 그래프 ${\bar {K}}_{0}=K_{0}$는 공 그래프(空graph, 영어: empty graph)라고 한다. ${\bar {K}}_{1}=K_{1}$은 한원소 그래프(영어: singleton graph)이다.

성질

무변 그래프의 여 그래프는 (같은 수의 꼭짓점을 갖는) 완전 그래프이다.

완전 그래프가 무변 그래프인 경우는 $K_{0}$ 및 $K_{1}$ 밖에 없다.

분류

무변 그래프는 그 꼭짓점의 수에 따라 분류된다. 즉, 각 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프 ${\bar {K}}_{\kappa }$가 존재한다.

참고 문헌

• Harary, Frank; Read, R. (1973). 〈Is the null graph a pointless concept?〉. Bari, R. A.; Harary, Frank. 《Graphs and combinatorics. Proceedings of the Capital Conference on graph theory and combinatorics at the George Washington University, June 18–22, 1973》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 406. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0066433. ISBN 978-3-540-06854-9. Zbl 0293.05101. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Empty graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Null graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Singleton graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Notation for a graph without any edges?” (영어). Math Overflow.