고립 특이점

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복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 영어: isolated singular point)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.

정의[편집]

연결 열린집합 및 점 및 함수 에 대하여, 정칙 함수가 되는 근방 이 존재한다면, 고립 특이점이라고 한다.

만약 0이 의 고립 특이점이라면, 무한대 고립 특이점이라고 한다.

분류[편집]

고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합 및 점 및 함수 가 주어졌고, 의 고립 특이점이라고 하자.

제거 가능 특이점[편집]

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 제거 가능 특이점이라고 한다.[1]:130, §4.2, 정리1

  • 에서 해석적 연속을 갖는다. 즉, 인 근방 및 정칙 함수 가 존재한다.
  • 에서 존재한다.
  • 에서 국소 유계 함수이다. 즉, 유계 함수가 되는 근방 이 존재한다.
  • 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

극점[편집]

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 극점이라고 한다.[1]:130-131, §4.2, 정리2

  • 에서 해석적 연속을 갖지 않으며, 에서 해석적 연속을 갖는다.
  • 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

본질적 특이점[편집]

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 본질적 특이점이라고 한다.[1]:132, §4.2, 정리3

  • 에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
  • 에서 존재하지 않는다.
  • 에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

무한대의 경우[편집]

무한대 의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

[편집]

함수

는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수

는 0을 극점으로 갖는다.

함수

는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수

의 고립 특이점이 아니다.

전해석 함수[편집]

모든 전해석 함수 를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며, 가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

각주[편집]

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 

외부 링크[편집]