르베그 측도

르베그 측도는 유클리드 공간의 부분 집합에 길이, 넓이 또는 부피를 할당하는 방법이다. 이것은 실해석학에서 널리 사용되며, 특히 르베그 적분을 정의하는 데 사용된다.

비탈리 정리에 따르면 선택공리를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다. 측도를 할당할 수 있는 집합들을 르베그 측정 가능, 혹은 르베그 측도 가능하다고 한다. 르베그 측정이 불가능한 집합은 바나흐-타르스키 역설 등의 결과를 가져온다. 비탈리 집합은 르베그 측정이 불가능한 집합의 한 예이다. 반면, 결정공리를 사용할 경우에는 실수의 부분집합은 모두 측정가능하다는 것을 증명할 수 있다.

선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 $(0,1)$의 측도는 길이와 같은 1이다. 한편, 칸토르 집합의 측도는 0이다.

정의

$k$차원 유클리드 공간에 대해, 르베그 측도 $\lambda$는 다음의 성질을 만족한다.

• $W=\{x:a_{i}<x_{i}<b_{i},i=1,\cdots ,k\}$에 대해, $\lambda (W)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n})=\prod _{i}(b_{i}-a_{i})$이다.
• 모든 보렐 집합은 르베그 측정 가능하다.
• 르베그 측도는 완비측도이다. 즉, 어떤 집합이 측정 가능하고 측도 0이면, 그 부분집합 또한 측정 가능하다.
• 르베그 측도는 이동불변성을 갖는다. 즉, 임의의 집합 $E$와 벡터 $a\in \mathbb {R} ^{k}$에 대해, $E+a:=\{x+a:x\in E\}$는 측정 가능하며 $E$와 같은 측도를 갖는다.