단면 이차 모멘트

이 문서는 휨과 관련된 단면의 관성모멘트에 관한 것입니다. 회전운동과 관련된 관성모멘트에 대해서는 관성모멘트 문서를 참고하십시오.

단면 이차 모멘트(斷面二次 - ) 또는 단면의 관성모멘트(area moment of inertia), 또는 간단히 관성모멘트(moment of inertia)는 휨 또는 처짐에 대한 저항을 예측하는 데 사용되는 단면의 성질을 뜻한다. 비틀림에 대한 저항을 나타내는 극 관성 모멘트와 비슷하다.

단면 이차 모멘트는 각가속도를 계산하는 데 쓰이는 관성모멘트와는 다르다. 공학에서는 보통 단면 이차 모멘트를 관성모멘트라고 부르며 기호도 $I$로 같게 사용한다. 어떠한 관성(가속도인지 휨인지)에 대한 것인지는 문맥에서나 단위을 확인하면 된다.

정의

$I_{x}=\int y^{2}dA$

$I_{y}=\int x^{2}dA$

• I_x - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
• dA - 면적 요소
• y - x 축에서부터 면적 요소까지의 수직 거리
• I_y - y 축에 대한 단면 이차 모멘트
• dA - 면적 요소
• x - y 축에서부터 면적 요소까지의 수직 거리

단위

단면 이차 모멘트는 국제 단위로 네제곱 미터(m⁴)를 사용한다. 영미 관습 단위계에서는 네제곱 인치(in.⁴)도 사용된다.

예제

• 직사각형

$I={\frac {bh^{3}}{12}}$

합성 단면의 단면 이차 모멘트

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

$I_{xx}=\Sigma \ y^{2}A+I_{local}$

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

$I_{yy}=\Sigma \ x^{2}A+I_{local}$

$I_{xy}=\Sigma \ yxA$

• y - x 축으로부터의 거리
• x - y 축으로부터의 거리
• A - 해당 부분의 단면적

$I_{local}$은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

평행축 정리

중립축과 평행한 임의의 축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

$I_{z}=I_{CG}+Ad^{2}\,$

• I_z - z 축에 대한 단면 이차 모멘트
• I_CG - z 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
• A - 단면의 넓이
• d - 축 사이의 거리

들보의 응력

들보의 오일러-베르누이 들보 방정식은 다음과 같다.

${\sigma }={\frac {M}{I_{x}}}y$

• σ - 휨 응력
• M - 중립축에서의 모멘트
• y - 중립축까지의 거리
• I_x - 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

함께 읽기

• 극관성 모멘트
• 단면 일차 모멘트