후르비츠의 정리 (복소해석학)

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후르비츠의 정리(독일어: Satz von Hurwitz, Hurwitz's theorem, -定理)는 복소해석학정리로, 독일수학자 아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)의 이름이 붙어 있다. 루셰의 정리의 간단한 응용으로 얻을 수 있다.

공식화[편집]

복소 함수열 {fn(z)}가 단순 닫힌 경로 C로 둘러싸인 영역과 그 위에서 해석적인 함수들의 함수열이며 C 및 C로 둘러싸인 영역을 포함하는 곳에서, C에서 영점을 갖지 않는 함수 f(z)로 균등 수렴한다고 하자. 그러면, 다음이 성립한다.[1]

  • C로 둘러싸인 영역에서 f(z)의 영점의 개수는 충분히 큰 자연수 n에 대해 C로 둘러싸인 영역에서 fn(z)의 영점의 개수와 같다.

증명[편집]

m을 C에서 |f(z)|의 최솟값이라고 하자[2]. C에서 {fn(z)}가 균등 수렴하므로, 적당한 자연수 N(m)이 존재하여 n > N(m)에 대해,

|fn(z) - f(z)| < m ≤ |f(z)|.

을 만족한다. 따라서 루셰의 정리에 의해 C로 둘러싸인 영역에서 f(z)의 영점의 개수는 f(z) + (fn(z) - f(z)) = fn(z)의 영점의 개수와 같다. 즉, 충분히 큰 자연수 n에 대해 f(z)의 영점의 개수는 fn(z)의 영점의 개수와 같다.[1]

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 266쪽.
  2. 최소절대값정리 참조.

참고 문헌[편집]

  • 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005.