헤그너 수

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헤그너 수(영어: Heegner number)는 허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{-n}) 대수적 정수환유일인수분해정역이 되는 자연수 n이다.

헤그너 수는 총 아홉 개가 있으며, 정확히 다음과 같다. (OEIS의 수열 A003173)

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163

이 사실은 카를 프리드리히 가우스가 처음으로 추측하였으며, 1952년쿠르트 헤그너(독일어: Kurt Heegner)에 의해 처음으로 증명되었다. 그러나 그의 증명은 약간의 결함이 있어서 인정을 받지 못하였다. 그가 죽은 후 해럴드 스타크(영어: Harold Stark)가 1967년에 좀 더 완전한 증명을 내 놓고, 앨런 베이커가 비슷한 시기에 독립적으로 유사한 증명을 내 놓은 후, 헤그너의 증명이 재발견되면서 이 수들에 헤그너를 기리는 이름이 붙여졌다.

오일러의 소수 생성 다항식[편집]

레온하르트 오일러1772년에 다음 수식이 n = 0, \cdots, 39에 대해 소수가 됨을 지적하였다.

n^2 + n + 41

이러한 다항식은 헤그너 수 163 = 4 \cdot 41 - 1에 연관되어 있다. 실제로 라비노비츠[1]n^2 + n + p 꼴의 다항식이 그 판별식의 절댓값 4p - 1이 헤그너 수일 때만 이러한 성질을 가짐을 증명하였다.

따라서 p = 2, 3, 5, 11, 17, 41(각각 헤그너 수 7, 11, 19, 43, 67, 163에 대응)에 대해, n^2 + n + p 꼴의 다항식은 n = 0, \cdots, p-2일 때 소수가 된다.

라마누잔 수[편집]

라마누잔 수초월수 e^{\pi \sqrt{163}}로, 정수에 매우 가까운 값을 가진다:

e^{\pi \sqrt{163}} = 262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\cdots \approx 640,320^3+744

이 ‘우연’은 모듈러 형식 이론으로부터 설명할 수 있다. 구체적으로, j-불변량 j({{\sqrt{-163}+1}\over{2}})q-전개를 근사한 값으로부터 이러한 숫자를 생성해 낼 수 있다. 이 근사는 일차 오류항이 -196,884 / e^{\pi \sqrt{163}} < 10^{-12}로 매우 정확한 근사이다.

다른 헤그너 수[편집]

다른 헤그너 수에 대해서도 j-불변량을 사용해서 정수에 가까운 이러한 값을 생성해 내는 것이 가능하며, 그 목록은 다음과 같다.

\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}}  &\approx 96^3+744-.22\\
e^{\pi \sqrt{43}}  &\approx 960^3+744-.00022\\
e^{\pi \sqrt{67}}  &\approx 5,280^3+744-.0000013
\end{align}

d \le 11일 때 일차 오류항 -196,884 / e^{\pi \sqrt{d}}은 1보다 크기 때문에 이러한 성질을 잃어버린다. (심지어 d = 19일 때도 정수에 크게 가까운 것은 아니다.)

참고 문헌[편집]

  1. Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418-421, 1913.

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