행렬 지수 함수

행렬 지수 함수(行列指數函數, matrix exponential)란 정사각행렬에 대한 일종의 지수 함수다.

정의[편집]

행렬 지수 함수 $\exp \colon M_{n\times n}\to M_{n\times n}$ 은 정사각행렬을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 급수로 정의한다.

\exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}

.

이는 복소수 지수 함수의 테일러 급수 $\exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}z^{k}$ 와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 수렴하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 복소수를 의미한다.

$\exp(0)=I_{n\times n}$ (단위행렬)
만약 $XY-YX=0$ $XY-YX=0$ 이면, $\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)=\exp(Y)\exp(X)$ $\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)=\exp(Y)\exp(X)$ .
- 위 성질의 특수한 경우로, $\exp(aX)\exp(bX)=\exp((a+b)X)$ .
- 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우 $\exp(X)\exp(Y)\neq \exp(X+Y)\neq \exp(Y)\exp(X)$ .
만약 $Y$ 가 가역행렬이라면, $Y\exp(X)Y^{-1}=\exp(YXY^{-1})$ .
$\det \exp X=\exp \operatorname {tr} X$ $\det \exp X=\exp \operatorname {tr} X$ .
- 따라서, $\det \exp X>0$ 이고, 행렬 지수는 항상 가역행렬이다.