프로베니우스 방법

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프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.

정의[편집]

정칙함수 p_1(z),\dots,p_k(z)z=0에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙함수 f(z)에 대한 k선형 상미분 방정식

f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots+z^{1-n}p_1(z)f'(z)+z^{-n}p_0f(z)=0

z=0에서 정칙특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법f를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

f(z)=z^r+a_1z^{r+1}+a_2z^{r+2}+\cdots

이 경우, 미지의 최저 차수 r는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 z\to0 근처에서 다음과 같다.

0=\left(r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_1(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0)\right)z^{r-k}+\mathcal O(z^{r-k+1})

따라서,

0=r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_1(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0)

임을 알 수 있다. r에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식(영어: indicial polynomial)이라고 하며, r는 결정 다항식의 근이다.

  • 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
  • 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.
f(z)=z^r\sum_{m=1}^{k-1}\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}(\ln z)^mz^n
다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 영어: Fuchs’ theorem).

근이 겹치는 경우[편집]

결정 다항식의 근들이 \{r_1,\dots,\}이고, \lambda_i의 중복도가 m_i라고 하자. 또한, i\ne j인 경우 r_i-r_j가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 r^i에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.

f_{i,0}=z^{r_i}(\cdots)
f_{i,1}=f_{i,0}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)
f_{i,2}=f_{i,1}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)
\vdots
f_{i,m_i-1}=f_{i,m_i-2}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)

여기서 (\cdots)z=0에서 정칙함수를 나타낸다. 이 경우, z=0을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.

\begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\f_{i,m_i-2}\\\vdots\\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
\exp(2\pi ir_i)&1\\
&\exp(2\pi ir_i)&1\\
&&\ddots&\ddots\\
&&&\exp(2\pi ir_i)&1\\
&&&&\exp(2\pi ir_i)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\f_{i,m_i-2}\\\vdots\\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}

낮은 차수 선형 방정식[편집]

1차 선형 방정식[편집]

1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식

f'(z)+p(z)f(z)/z=0

의 경우, 결정 다항식은

r=-p(0)

이며, 이에 따라 해는

f(z)=z^{-p(0)}(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots)

의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로

f(z)=\exp\left(C-\int_0^z\frac{p(z')dz}{z'}\right)
=\exp\left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^2/4+\cdots\right)

로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 z\to\exp(i\theta)z에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로

f(z)\to\exp(-2\pi ip(0))f(z)

가 됨을 알 수 있다.

2차 선형 방정식[편집]

2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.

r=\frac12\left(1-p_1(0)\pm\sqrt{(p_1(0)-1)^2-4p_2(0)}\right)

이 경우 두 근을 r_1,r_2라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.

  • 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 r_1-r_2정수가 아니라면
f_1(z)=z^{r_1}\left(1+a_1z+a_2z^2+\cdots\right)
f_2(z)=z^{r_2}\left(1+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)
와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\0&\exp(2\pi ir_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}
  • 만약 두 근이 서로 겹친다면 (r_1=r_2=r) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
f_1(z)=z^r\left(1+a_1z+a_2z^2+\cdots\right)
f_2(z)=f_1(z)\ln(z)+z^r\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)
이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}
  • 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 r_1-r_2=n\in\mathbb Z^+가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
f_1(z)=z^{r_1}+a_1^{(1)}z^{r_1+1}+a_2^{(1)}z^{r_1+2}+\cdots
f_2(z)=Cf_1(z)\ln z+z^{r_2}\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)
이 경우 C=0 또는 C=1이다. 이 경우, z\to\exp(i\theta)z와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\2\pi iC&\exp(2\pi ir_1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}

[편집]

베셀 방정식

f''+z^{-1}f'+(1-\alpha^2/z^2)f=0

을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은

r(r-1)+r-\alpha^2

이다. 따라서

r=\pm\alpha

가 된다. 즉, \alpha\not\in\mathbb Z라면 해는 z=0 근처에서

f(z)\propto z^{\pm\alpha}(1+\cdots)

의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 \{J_\alpha(z),J_{-\alpha}(z)\}에 의하여 주어지며, 이들은 z=0 근처에서 다음과 같다.

J_{\pm\alpha}(z)\sim\frac{(z/2)^{\pm\alpha}}{\Gamma(1\pm\alpha)}+\cdots

여기서 \cdotsz=0에서 정칙함수이다.

만약 \alpha=0이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \{J_0(z),Y_0(z)\}이며, z=0 근처에서

J_0(z)\sim 1+\cdots
Y_0(z)\sim(2/\pi)J_0(z)\ln z+\cdots

이다. 여기서 \cdotsz=0에서 정칙함수이다.

만약 \alpha=n\in\mathbb Z^+이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 \{J_n(z),Y_n(z)\}가 된다. 이 경우

J_n(z)\sim(z/2)^n/n!+\cdots
Y_n(z)\sim(2/\pi)\pi J_n(z)\ln z+z^{-n}(\cdots)

이다. 여기서 \cdotsz=0에서 정칙함수이다.

참고 문헌[편집]

  • Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》, 8판, John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2

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