최대·최소 정리

닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f(x)$는 최댓값 $f(c)$와 최솟값 $f(d)$를 반드시 갖는다.

최대·최소 정리는 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이면 $f(x)$는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다는 정리이다. 이 정리에 따라 어떤 연속함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 세울 수 있다. 먼저 주어진 구간에서 함수의 그래프를 그리고, 그 그래프에서 구간의 양 끝 점의 함숫값과 임계점들의 함숫값을 구하여 비교하면 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

역사

최대·최소 정리는 1830년대에 버나드 볼자노가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼자노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최대값과 최소값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼자노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 1860년에 바이어슈트라스가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.

최대·최소 정리를 적용할 수 있는 조건

어떤 함수 $y=f(x)$와 구간이 주어지면, $f(x)$가 그 구간에서 상한과 하한을 가지고 있어야 한다.

증명

증명은 나중에 추가할 예정.