최대·최소 정리

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닫힌 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f(x)는 최댓값 f(c)와 최솟값 f(d)를 반드시 갖는다.
미적분학
v  d  e  h

해석학에서, 최대·최소 정리(영어: extreme value theorem)는 함수 f(x)닫힌 구간 [a,b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다는 정리이다. 이 정리에 따라 어떤 연속함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 세울 수 있다. 먼저 주어진 구간에서 함수의 그래프를 그리고, 그 그래프에서 구간의 양 끝 점의 함숫값과 임계점들의 함숫값을 구하여 비교하면 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

역사[편집]

최대·최소 정리는 1830년대에 베르나르트 볼차노가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최대값과 최소값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 1860년에 카를 바이어슈트라스가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.

최대·최소 정리를 적용할 수 있는 조건[편집]

어떤 함수 y=f(x)와 구간이 주어지면, f(x)가 그 구간에서 상한하한을 가지고 있어야 한다.