초입자

이론물리학에서 초입자(超粒子, 영어: superparticle)는 초공간 속을 움직이는 입자이다.^:§3 초장의 한 양자를 나타내며, 그 힐베르트 공간은 그 초다중항에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 직합이다.

정의

입자

우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가 $x^{m}\in \mathbb {R} ^{D}$라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은

$\eta ^{ab}p_{a}p^{b}=0$

이다. 이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언

$L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)p_{a}-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}$

을 적을 수 있다. 여기서

• $t\in \mathbb {R}$는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점은 $\partial /\partial t$를 뜻한다.
• $\eta _{ab}$는 상수 계량 텐서이다.
• $\lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 이는 또한 운동 방정식 $p^{2}=0$의 라그랑주 승수이다.
• $e_{m}{}^{a}$는 시공간의 필바인이다. 즉, $\eta _{ab}e_{m}{}^{a}e_{n}{}^{b}=g_{mn}$가 시공간의 계량 텐서이다.
• $x^{m}$는 입자의 위치이며, $p_{a}$는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다.

이제, $(\lambda ,x,p)$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.

• $\lambda$: $p^{2}=0$
• $x$: $(\partial /\partial t)e_{m}{}^{a}p_{a}={\dot {x}}^{m}p_{a}\partial e_{m}{}^{a}/\partial x$
• $p$: ${\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)=\lambda \eta ^{ab}p_{b}$

특히, $\lambda$의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어) $\lambda =1$로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고, $p$의 운동 방정식을 사용하여 $p$를 $x$에 대한 표현

$p_{a}=\eta _{ab}{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{b}$

로 대체하면, 작용은 다음과 같다.

$L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}\eta _{ab}e_{n}{}^{b}{\dot {x}}^{n}=\int \mathrm {d} tg_{mn}{\dot {x}}^{m}{\dot {x}}^{n}$

초입자

초입자는 초공간 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는

$x^{M}=(x^{m},\theta ^{\mu })\in \mathbb {R} ^{D|D'}$

의 꼴이며, 여기서 $m$은 실제 공간 벡터의 지수, $\mu$는 어떤 스피너 지수를 뜻한다.

초입자의 운동은 다음과 같은 두 운동 방정식으로 결정된다.

$\eta ^{ab}p_{a}p_{b}=0$

$p_{a}\gamma ^{a}d=0$

여기서 $p_{A}=(p_{a},d_{\alpha })$는 각각 $x^{m}$과 $\theta$에 대한 일반화 운동량이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.)

이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자.

$L=\int \mathrm {d} t\,\left({\dot {x}}^{M}e_{M}{}^{A}\,-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}-\mathrm {i} \lambda '(p_{a}\gamma ^{a})d=0\right)$

여기서

• $t\in \mathbb {R}$는 세계선의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점 $\partial A/\partial t={\dot {A}}$로 표기된다.
• $x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D|D'}$는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다.
• $\lambda \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $\lambda '\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{D'}$는 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수이다. $\lambda$는 스칼라이며, $\lambda '$은 스피너이다. 이들은 또한 게이지 변환의 게이지 장을 이루며, 이에 따라 $\lambda =1$, $\lambda '=0$인 게이지를 고를 수 있다.

또한, 시공간 초필바인의 성분은 다음과 같다.

$e_{M}{}^{A}(x,\theta )={\begin{pmatrix}e_{m}{}^{a}(x)&0\\-\mathrm {i} \gamma ^{a}\theta &\delta _{\mu }^{\alpha }\end{pmatrix}}$

그렇다면, $\lambda$, $\lambda '$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각

$p^{2}=0$

$p_{a}\gamma ^{a}d=0$

이 되며, $p_{A}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은

$({\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)-\mathrm {i} {\dot {\theta }}\gamma ^{a}\theta )=\lambda \eta ^{ab}p_{b}+\mathrm {i} \lambda '\gamma ^{a}d$

${\dot {\theta }}^{\beta }=\mathrm {i} p_{a}\lambda '_{\alpha }\gamma ^{a\alpha \beta }$

이다. 이는 운동량 $p_{a}$와 초운동량 $d_{\alpha }$를 초공간 좌표 $(x^{m},\theta ^{\mu })$로부터 결정한다.

만약 $\lambda =1$, $\lambda '=0$ 게이지를 사용할 경우,

$p_{a}={\dot {x}}^{m}e_{ma}$

${\dot {\theta }}=0$

가 된다.

외부 링크

• “superparticle”. 《nLab》 (영어). 
• “spinning particle”. 《nLab》 (영어).