보렐-칸텔리 보조정리

보렐-칸텔리 보조정리(Borel–Cantelli lemma)는 무한한 갯수의 사건이 일어날 확률에 대한 정리이다. 이 정리의 이름은 에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(Francesco Paolo Cantelli)의 이름을 딴 것이다.

정리

확률공간에서의 사건열 $\{E_n\}$에 대해서, 만약 $\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty$라면, $\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0$이 성립한다.

여기에서 $\limsup_{n\to\infty} E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k$은 상극한으로, 사건들에서 앞의 유한개를 제외해도 남은 사건들 중 하나 이상이 일어나는 사건을 의미한다.

증명

상극한의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = \Pr\left(\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \leq \inf_{N \geq 1} \Pr\left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right)$

확률측도의 성질에 따라 다음이 성립한다.

$\Pr\left( \bigcup_{n=N}^\infty E_n\right) \leq \sum_{n=N}^\infty \Pr(E_n)$

따라서,

$\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) \le \inf_{N \ge 1} \sum_{n=N}^\infty \Pr(E_n)$

이 되며, 우변의 값은 0이므로 정리가 성립한다.