수학 에서, 특히 선형대수학 과 행렬 이론 에서 행렬 의 벡터화 (Vector化, 영어 :Vectorization)는 행렬을 세로 벡터로 바꾸는 선형변환 의 하나이다. m×n 행렬 A 의 선형화는 vec(A )로 표기하며, 행렬 A 의 열을 다음 열 위에 쌓아가며 얻을 수 있다.
v
e
c
(
A
)
=
[
a
1
,
1
,
…
,
a
m
,
1
,
a
1
,
2
,
…
,
a
m
,
2
,
…
,
a
1
,
n
,
…
,
a
m
,
n
]
T
{\displaystyle \mathrm {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{T}}
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,j}}
는 행렬
A
{\displaystyle A}
의
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
성분을 나타내며,
T
{\displaystyle ^{T}}
는 전치행렬 을 나타낸다. 벡터화는 (행렬과 벡터의)벡터 공간 사이의 동형 사상
R
m
×
n
:=
R
m
⊗
R
n
≅
R
m
n
{\displaystyle \mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}}
을 나타낸다.
예를 들어, 2×2 행렬
A
{\displaystyle A}
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
를 벡터화하면
v
e
c
(
A
)
=
[
a
c
b
d
]
{\displaystyle \mathrm {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}}
가 된다.
크로네커 곱과의 호환성 [ 편집 ]
vec
(
A
B
C
)
=
(
C
T
⊗
A
)
vec
(
B
)
{\displaystyle {\mbox{vec}}(ABC)=(C^{T}\otimes A){\mbox{vec}}(B)}
vec
(
A
B
C
)
=
(
I
n
⊗
A
B
)
vec
(
C
)
=
(
C
T
B
T
⊗
I
k
)
vec
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{vec}}(ABC)=(I_{n}\otimes AB){\mbox{vec}}(C)=(C^{T}B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)}
vec
(
A
B
)
=
(
I
m
⊗
A
)
vec
(
B
)
=
(
B
T
⊗
I
k
)
vec
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{vec}}(AB)=(I_{m}\otimes A){\mbox{vec}}(B)=(B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)}
아다마르 곱과의 호환성 [ 편집 ]
vec(A
∘
{\displaystyle \circ }
B ) = vec(A )
∘
{\displaystyle \circ }
vec(B ).
내적과의 호환성 [ 편집 ]
tr(A * B ) = vec(A )* vec(B )
반벡터화 [ 편집 ]
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프로그래밍 언어 [ 편집 ]
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같이 보기 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]
Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics , 2nd Ed., Wiley. ISBN 0-471-98633-X .
Jan R. Magnus (1988), Linear Structures , Oxford University Press. ISBN 0-85264-299-7 .