반감기

이 부분의 본문은 지수함수적 붕괴입니다.

지수함수적 붕괴의 반감기(半減期, half-life)란 어떤 양이 초기 값의 절반이 되는데 걸리는 시간이다. 원개념은 방사성 붕괴에서 기인한 것이나, 현재는 여러 다른 분야에서도 쓰이고 있다.

지나간 반감기 수	남게되는 양 (백분율)
0	100%
1	50%
2	25%
3	12.5%
4	6.25%
5	3.125%
6	1.5625%
7	0.78125%
...	...
N	$\frac{100\%}{2^N}$
...	...

오른쪽의 표로 반감기가 몇번 경과했는가에 따라 '어떤 양'이 어떻게 감소하는지 알 수 있다.

유도

지수함수적 붕괴의 대상이 되는 양은 일반적으로 N으로 나타낸다. (이는 붕괴하는 양을 나타내는 수가 이산적임을 암시한다. 이 해석은 지수함수적 붕괴의 여러 경우에 유효하나, 모든 경우에 유효한 것은 아니다.) 양을 N으로 나타낼 때, 시간 t에서의 N의 값은 다음 수식으로 나타낸다.

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \,$

여기에서

• $N_0$ 은 N의 초기값이다. (t=0가 0일 때)
• λ 는 양의 상수이다. (붕괴 상수)

t=0일 때 지수함수 부분이 1이 되어 N(t)는 $N_0$와 같아진다. t가 무한히 커질 때, 지수함수 부분은 0에 가까워진다.

여기에서 다음과 같은 특정한 $t_{1/2} \,$가 존재하는데, :

$N(t_{1/2}) = N_0\cdot\frac{1}{2}$

이것을 위의 공식에 대입하면 :

$N_0\cdot\frac{1}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \,$

$e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \,$

$- \lambda t_{1/2} = \ln \frac{1}{2} = - \ln{2} \,$

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \,$

그러므로 반감기는 평균 수명의 약 69.3%가 된다.