모듈러 자기 동형

함수해석학에서 모듈러 자기 동형(modular自己同型, 영어: modular automorphism)은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수 및 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 힐베르트 공간 $H$
• $H$ 위에 작용하는 폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} (H,H)$
• 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터 $|v\rangle \in H$
  • ${\mathcal {A}}|v\rangle$는 $H$의 조밀 집합이다.
  • ${\mathcal {A}}\to H$, $A\mapsto A|v\rangle$는 단사 함수이다.

이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자.

$S\colon D\to H$

$SA|v\rangle =A^{*}|v\rangle \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;|v\rangle \in A^{-1}(D)$

이는 복소수 반선형 변환이다.

$S|\alpha u\rangle ={\bar {\alpha }}S|u\rangle \qquad \forall |u\rangle \in D,\;\alpha \in \mathbb {C}$

정의역 $D\subseteq H$는 $H$의 조밀 집합이다.

$S$의 극분해(영어: polar decomposition)가 다음과 같다고 하자.

$S=J\Delta ^{1/2}=D^{-1/2}J$

$J^{2}=1$, $J=J^{*}$

여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 $t\in \mathbb {R}$에 대하여 $\Delta ^{\mathrm {i} t}$를 정의할 수 있다.

도미타 정리(영어: Tomita’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$J|v\rangle =|v\rangle =\Delta |v\rangle$

$J{\mathcal {A}}J=\operatorname {C} _{\operatorname {B} (H,H)}({\mathcal {A}})$

$\Delta ^{\mathrm {i} t}{\mathcal {A}}\Delta ^{-\mathrm {i} t}={\mathcal {A}}\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

여기서 $\operatorname {C} _{\operatorname {B} (H,H)}(-)$는 $\operatorname {B} (H,H)$에서 취한 중심화 부분환이다. 이에 따라,

$\Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$

$A\mapsto \Delta ^{\mathrm {i} t}A\Delta ^{-\mathrm {i} t}$

는 ${\mathcal {A}}$의 자기 동형을 이룬다. 이를 $|v\rangle$에 대응하는 모듈러 자기 동형(영어: modular automorphism)이라고 한다.

콘 모듈러 군

임의의 대합환 $(A,^{*})$가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소 $u\in \operatorname {U} (A)$ (즉, $uu^{*}=u^{*}u=1$인 원소)에 대하여

$A\mapsto A$

$a\mapsto uau^{*}$

는 $A$의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형

$\operatorname {U} (A)\to \operatorname {Aut} (A)$

를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군(영어: outer automorphism group)

$\operatorname {Out} (A)=\operatorname {Aut} (A)/\operatorname {U} (A)$

을 정의할 수 있다.

폰 노이만 대수 ${\mathcal {A}}$ 및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터 $|v\rangle ,|v'\rangle \in H$에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.

$\Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A$

$\Delta '^{\mathrm {i} t}(-)\Delta '^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A$

이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형

$\delta \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Out} (A)$

은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군(영어: Connes modular group)이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다.

성질

콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수 $A$의 콘 준동형 $\delta \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Out} (A)$를 생각하자. 그 핵 $\ker \delta$는 $(\mathbb {R} ,+)$의 부분군이다. 만약 $A$가 인자 대수라면, 다음이 성립한다.

콘 준동형의 핵 $\ker \delta$	인자 대수 $A$의 분류
$\mathbb {R}$	I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수
$\mathbb {R}$의 조밀 집합 (그러나 $\mathbb {R}$ 전체가 아님)	III0종 인자 대수
무한 순환군 $t\mathbb {Z}$, $t\in \mathbb {R} ^{+}$	IIIa종 인자 대수 ($a=\exp(-2\pi /t)$)
자명군 $\{0\}$	III1종 인자 대수

역사

도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(일본어: 冨田 稔, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(일본어: 竹崎 正道, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며, 이후 학계에서 주목받게 되었다.

이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다.

참고 문헌

• Summers, Stephen J. (2006). 〈Tomita–Takesaki modular theory〉. 《Encyclopedia of Mathematical Physics》 (영어). Elsevier. 251–257쪽. arXiv:math-ph/0511034. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00019-5. 
• Dereziński, Jan; Pillet, Claude-Alain. “Tomita–Takesaki theory” (PDF) (영어). 
• Borchers, H. J. (2000). “On revolutionizing quantum field theory with Tomita’s modular theory”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 41: 3604. doi:10.1063/1.533323. 

외부 링크

• “Tomita-Takesaki theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.