라게르 다항식

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라게르 다항식의 그래프

수학에서, 라게르 다항식(Laguerre多項式, 영어: Laguerre polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다. 양자역학 등에서 등장한다.

정의[편집]

라게르 다항식 L_n은 다음과 같은 로드리게스 공식(영어: Rodrigues formula)으로 정의된다.

L_n(x)=\frac1{n!}\exp(x)\frac{d^n}{dx^n}\exp(-x)x^n

물리학에서는 1/n! 인자를 생략하고 정의하는 경우도 있다.

[편집]

라게르 다항식의 값들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A021010)

n n!Ln(x)
0 1
1 -x+1
2 x^2-4x+2
3 -x^3+9x^2-18x+6
4 x^4-16x^3+72x^2-96x+24
5 -x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120
6 x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720

성질[편집]

직교성[편집]

라게르 다항식들은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

\int_{-\infty}^\infty L_m(x)L_n(x)=\delta_{mn}

여기서 \delta_{mn}크로네커 델타이다.

점화식과 생성함수[편집]

라게르 다항식은 다음과 같은 점화식을 따른다.

L_{n+1}(x)=\frac1{n+1} \left( (2n+1- x)L_n(x)-nL_{n-1}(x)\right)

라게르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.

\sum_n^\infty  t^nL_n(x)=\frac1{1-t}\exp\left(\frac{-tx}{1-t}\right)

이를 전개하여 다음과 같은 공식을 얻를 수 있다.

L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom nk\frac{(-1)^k}{k!}x^k

역사[편집]

에드몽 라게르(프랑스어: Edmond Laguerre)가 1878년 도입하였다.[1]

응용[편집]

라게르 다항식은 양자역학에서 3차원 등방 양자 조화 진동자를 분석할 때 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Laguerre, Edmond (1878년). Sur le transformations des fonctions elliptiques. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 6: 72–78. ISSN 0037-9484.

같이 보기[편집]

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