에르미트 다항식

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
에르미트 다항식 H_n(x)의 그래프 (n=1,\ldots,6). 확률론에서의 정의를 따른다.
에르미트 다항식 H_n(x)의 그래프 (n=1,\ldots,6). 물리학에서의 정의를 따른다.

수학에서, 에르미트 다항식(Hermite多項式, 영어: Hermite polynomial)은 직교 관계를 만족시키는 일련의 다항식들이다.

정의[편집]

에르미트 다항식은 확률론물리학에서 쓰이는 정의가 조금씩 다르다. (확률론에서의) 에르미트 다항식 H_n(x)은 다음과 같다.

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}=\left(x-\frac{d}{dx}\right)^n1=\exp\left(-\frac12\frac{d^2}{dx^2}\right)x^n

물리학에서 쓰이는 에르미트 다항식 \tilde H_n(x)은 다음과 같다.

\tilde H_n(x)=2^{n/2}H_n(\sqrt2x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=\left(2x-\frac{d}{dx} \right)^n1

이 문서에서는 확률론에서의 에르미트 다항식 정의을 사용한다.

[편집]

확률론에서의 에르미트 다항식은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A096713)

H_0(x)=1
H_1(x)=x
H_2(x)=x^2-1
H_3(x)=x^3-3x
H_4(x)=x^4-6x^2+3
H_5(x)=x^5-10x^3+15x
H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15
H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x
H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105
H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x
H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945

성질[편집]

직교성[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 직교 관계를 만족시킨다.

\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)\exp(-x^2/2)\,dx=\sqrt{2\pi}n!\delta_{mn}

여기서 \delta_{mn}크로네커 델타이다. 또한, 이들은 힐베르트 공간 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))의 완비기저를 이룬다. 여기서 L^2(\mathbb R,\exp(-x^2/2))은 다음과 같은 내적이 주어진 함수공간이다.

\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\bar f(x)g(x)\exp(-x^2/2)\,dx

에르미트 미분 방정식[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 에르미트 미분 방정식(영어: Hermite differential equation)의 해를 이룬다.

\frac d{dx}\left(\exp(-x^2/2)\frac d{dx}H\right)=\lambda\exp(-x^2/2)H

여기서 \lambda는 임의의 상수이다. 즉, H는 미분 연산자

\exp(x^2/2)\frac d{dx}\exp(-x^2/2)\frac d{dx}

고유함수이다.

점화식과 생성함수[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.

H_{n+1}(x)=xH_n(x)-nH_{n-1}(x)

또한, 다음과 같은 생성함수가 존재한다.

\sum_{n=0}^\infty H_n(x)t^n/n!=\exp(xt-t^2/2)

미분과 적분[편집]

(확률론에서의) 에르미트 다항식의 미분은 다음과 같다.

\frac d{dx}H_n(x)=nH_{n-1}(x)

역사[편집]

에르미트 다항식은 피에르시몽 라플라스가 1810년 정의하였다.[1] 이후 파프누티 체비쇼프가 이들을 1859년 자세히 연구하였다. 샤를 에르미트는 이 함수들에 대하여 1864년 연구하였고,[2][3] 이에 따라 에르미트의 이름이 붙게 되었다.

응용[편집]

에르미트 다항식은 양자역학에서 양자 조화 진동자의 에너지 고유상태의 파동 함수에 등장한다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Laplace, P. S. (1810년). . 《Mémoires de la classe des sciences mathematiques et physiques de l’Institut national de France》 58: 279–347.
  2. (프랑스어) Hermite, Charles (1864년). Sur un nouveau développement en série des fonctions. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 58: 93–100.
  3. (프랑스어) Hermite, Charles (1864년). Sur un nouveau développement en série des fonctions. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 58: 266–273. doi:10.1017/CBO9780511702761.022.
  • (영어) Szegő, Gábor (1955년). 《Orthogonal Polynomials》, 2판, American Mathematical Society
  • (영어) Temme, Nico (1996년). 《Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics》. New York: Wiley

바깥 고리[편집]