단일연결공간

단일연결공간(單一連結空間, simply connected space) 또는 단순연결공간은 위상공간의 일종으로, 직관적으로 말해 그 공간 내에서 임의의 닫힌 경로를 연속적으로 줄여 하나의 점으로 만들 수 있는 공간을 말한다. 보다 엄밀한 정의는 다음과 같다.

• 위상공간 X가 단일연결공간일 필요충분조건은 X가 길연결공간이고 X의 기본군이 자명군인 것이다.

이 정의는 다음 정의와 동치이다.

• 위상공간 X가 단일연결공간일 필요충분조건은 X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 호모토픽한 것이다.

어떤 위상공간에서 단일연결성을 갖는 부분공간을 단일연결집합이라고 부르기도 한다.

예

• 2차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^2$ 는 단일연결공간이나, 여기서 원점을 뺀 집합은 단일연결집합이 아니다.
• 2차원 이상의 모든 구면 $S^n$ 은 단일연결집합이다.
• 임의 차원 유클리드 공간에서 볼록집합은 단일연결집합이다.
• 바나흐 공간과 힐베르트 공간을 포함한 모든 위상 벡터공간은 단일연결공간이다.

같이 보기

• 국소 단일연결공간
• 호모토피

참고 문헌

• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.